Ejercicios: Aproximación y errores

En la pantalla de su calculadora aparece el número irracional $\sqrt{10} = 3.16227766...$

Copie la siguiente tabla en su cuaderno y complétala realizando las aproximaciones indicadas para ese número:

Tipo de aproximación	A las unidades	A las décimas	A las centésimas	A las milésimas
Por truncamiento
Por redondeo

Está ayudando a organizar una carrera solidaria en su escuela secundaria. Al calcular la distancia exacta de un tramo del recorrido con el GPS, obtiene 2,3458 millas.

Para hacer los carteles informativos, necesita simplificar esta cifra. Escriba cómo quedaría esta distancia si aproximamos por redondeo:

1. a) A las unidades (millas).
2. b) A las décimas.
3. c) A las centésimas.

Ayúdese de la siguiente recta numérica para visualizar dónde cae el número:

Un famoso streamer ha subido un video que tiene exactamente 3.894.215 visualizaciones.

1. a) Escriba esta cantidad redondeada a los millones.
2. b) Escriba la cantidad redondeada a las centenas de millar.
3. c) ¿Cuántas cifras significativas ha utilizado en el apartado b?

Al medir la longitud de su mesa de estudio, el valor real de fábrica es de 120 pulgadas. Usted utiliza una cinta métrica y obtiene una medida de 119 pulgadas.

1. a) Calcule el error absoluto ($E_a$) cometido en su medición. Recuerde que el error absoluto es la diferencia en valor positivo entre el valor real y el aproximado: $E_a = |V_{real} - V_{aprox}|$.
2. b) Si su compañero mide el pasillo de la escuela secundaria, que mide realmente 5000 pulgadas, y obtiene 4999 pulgadas, su error absoluto es de 1 pulgada, igual que el suyo. ¿Significa esto que ambas mediciones tienen la misma precisión? Razone su respuesta (puede apoyarse en el concepto de error relativo).

Vamos a calcular el error relativo ($E_r$) para comparar dos pesajes distintos. Recuerde que la fórmula es $E_r = \frac{E_a}{|V_{real}|}$.

1. Caso A: Pesa una manzana cuyo peso real es 200 onzas y su balanza marca 205 onzas.

2. Caso B: Pesa a su perro cuyo peso real es 20.000 onzas (20 libras) y la báscula marca 20.005 onzas.

Calcule el error relativo en ambos casos (puede expresarlo en forma decimal o porcentaje) e indique qué medición ha sido más precisa (de mayor calidad).

Mira la siguiente imagen que representa el velocímetro digital de una bicicleta eléctrica:

El velocímetro solo muestra números enteros (sin decimales) y marca 24 mph mediante redondeo a las unidades.

Esto significa que la velocidad real no es exactamente 24 mph, sino que está comprendida en un intervalo. ¿Entre qué dos valores (cota inferior y cota superior) se encuentra la velocidad real de la bicicleta?

Ha ido al supermercado a comprar ingredientes para una cena. Los precios reales de los productos son:

• Pasta: $\$1,85$

• Salsa de tomate: $\$2,15$

• Queso rallado: $\$3,48$

• Refresco: $\$1,25$

1. a) Haga una estimación rápida del costo total redondeando cada precio a las unidades antes de sumar.
2. b) Calcule la suma exacta de los precios.
3. c) Calcule la diferencia (error absoluto) entre su estimación y el precio real. ¿Cree que ha sido una buena estimación para saber si llevaba $\$10$ en el bolsillo?

Queremos calcular el área de un círculo cuyo radio hemos medido con una regla.

La medida del radio es $r = 5$ pulgadas.

Sabemos que el área de un círculo es $A = \pi \cdot r^2$.

1. a) Si utilizamos la aproximación de $\pi \approx 3$, ¿cuál es el área calculada?
2. b) Si utilizamos la aproximación de $\pi \approx 3,14$, ¿cuál es el área calculada?
3. c) Sabiendo que el valor "real" (usando la tecla $\pi$ de la calculadora) es aproximadamente 78,54 pulgadas², calcule el error absoluto cometido en el apartado a y en el apartado b. ¿Qué aproximación de $\pi$ es más adecuada usar en matemáticas de 8.º grado?

En el ámbito científico y tecnológico es crucial saber con qué precisión estamos trabajando. Redondee los siguientes números a tres cifras significativas:

1. a) La cantidad de visitas de un video viral: $14\,592\,301$.
2. b) La masa de una partícula de polvo: $0,00040961$ gramos.
3. c) El número $\pi$: $3,141592...$
4. d) La capacidad de un disco duro en bytes: $1\,024\,576\,000$.

Después, exprese cada resultado utilizando la notación científica.

Vamos a analizar el error que cometemos al usar decimales en lugar de fracciones. Considere la fracción $\frac{7}{3}$.

1. a) Escriba su expresión decimal y redondéela a las centésimas.
2. b) Calcule el error absoluto ($E_a$) cometido con esta aproximación.
3. c) Calcule el error relativo ($E_r$) y expréselo en forma de porcentaje.

Nota: Recuerde que para el cálculo del error, debe usar el valor exacto (la fracción) como referencia.

Dos estudiantes realizan mediciones distintas para un proyecto de ciencias.

• Lucía mide la longitud de un campo de fútbol y obtiene $105$ pies, con un error absoluto de $0,5$ pies.

• Marcos mide la longitud de la pantalla de un celular y obtiene $15$ pulgadas, con un error absoluto de $0,1$ pulgadas.

¿Cuál de las dos mediciones es más precisa (tiene mayor calidad)? Justifique su respuesta calculando los errores relativos de ambas medidas.

En muchas gasolineras, el precio del combustible se muestra con tres decimales (milésimas de dólar), aunque nosotros pagamos con monedas que solo llegan a los centavos (centésimas).

El precio del diésel hoy es de $\$1,489$ / galón.

Va a repostar exactamente $35$ galones.

1. a) Calcule el precio real exacto multiplicando los $35$ galones por el precio con tres decimales.
2. b) Calcule el precio si primero redondeamos el precio del galón a dos decimales ($\$1,49$ / galón).
3. c) ¿Cuál es la diferencia en dólares entre ambos métodos? ¿Quién sale ganando con el redondeo previo, el cliente o la gasolinera?

Queremos calcular el área de un rectángulo cuya base mide $\sqrt{5}$ pulgadas y su altura mide $\sqrt{3}$ pulgadas.

1. a) Calcule el área exacta utilizando radicales.
2. b) Aproxime $\sqrt{5}$ y $\sqrt{3}$ a las centésimas y calcule el área aproximada con esos valores.
3. c) Determine el error absoluto cometido al usar los valores aproximados respecto al valor exacto del apartado a.

Las básculas de baño digitales suelen tener una precisión de $100$ onzas ($0,1$ libras). Esto significa que si la báscula marca $54,2$ libras, el peso real podría estar un poco por encima o un poco por debajo, pero redondeado a ese decimal.

1. a) Escriba el intervalo de valores reales posibles para un peso medido de $54,2$ libras.
2. b) ¿Cuál es la cota de error absoluto de esta báscula?

Calcule el error relativo cometido en las siguientes aproximaciones e indique cuál de ellas es la peor aproximación (la que tiene mayor error relativo):

1. a) Aproximar la fracción $\frac{1}{3}$ como $0,33$.
2. b) Aproximar el número $\sqrt{2}$ como $1,41$.
3. c) Aproximar un presupuesto de $\$150.000$ como $\$140.000$.

En las noticias han anunciado que a una manifestación han acudido "aproximadamente 25.000 personas".

1. a) Si sabemos que esa cifra se obtuvo redondeando a los millares, ¿cuál es el número máximo y mínimo de personas que podrían haber asistido realmente?
2. b) Represente este intervalo en la recta numérica.
3. c) ¿Cuál es el error absoluto máximo que se podría estar cometiendo con ese titular?

En un laboratorio de nanotecnología y en un observatorio astronómico se han realizado dos mediciones distintas con sus respectivos instrumentos de precisión:

1. La longitud de un chip microscópico: $0,00045 \text{ m}$ (con un error posible de $\pm 0,00001 \text{ m}$).

2. La distancia entre dos satélites: $45000 \text{ km}$ (con un error posible de $\pm 100 \text{ km}$).

Sin realizar cálculos complejos, se podría pensar que la medición del chip es "más fina" por ser el número más pequeño, pero ¿cuál de las dos mediciones tiene mayor calidad o precisión científica?

Justifique su respuesta calculando el error relativo de ambas mediciones y expresándolo en porcentaje.

Queremos pintar una pista de aterrizaje para helicópteros (helipuerto) que tiene forma circular. Para calcular la cantidad de pintura necesaria, medimos el radio y obtenemos $r = 12,5 \text{ m}$. Sabemos que la fórmula del área es $A = \pi \cdot r^2$.

1. a) Calcule el área "exacta" utilizando la tecla $\pi$ de su calculadora.
2. b) Calcule el área aproximada utilizando el valor redondeado $\pi \approx 3,14$.
3. c) Calcule el error absoluto y el error relativo cometidos al usar la aproximación de $\pi$ respecto al valor de la calculadora.
4. d) Si una lata de pintura cubre $5 \text{ m}^2$, ¿afecta el error cometido al número de latas que debemos comprar?

Una empresa de joyería compra oro basándose en el peso. Su balanza digital mide con una precisión de centésimas de gramo ($0,01 \text{ g}$). Sin embargo, la factura que emiten trunca el peso a un solo decimal (décimas de gramo) para realizar el cobro.

Esta semana han comprado 4 lotes de oro cuyos pesos reales en la balanza fueron:

• Lote A: $12,48 \text{ g}$

• Lote B: $25,19 \text{ g}$

• Lote C: $8,76 \text{ g}$

• Lote D: $15,95 \text{ g}$

1. a) Calcule el peso total real sumando las cantidades exactas de la balanza.
2. b) Calcule el peso total que aparece en las facturas sumando las cantidades truncadas a las décimas.
3. c) ¿Cuál es el error absoluto total que se ha cometido con este método de facturación? ¿Quién sale perdiendo, el comprador o el vendedor?

Tenemos un tanque de agua con forma de ortoedro (caja rectangular). Hemos medido sus dimensiones con una cinta métrica que solo marca los decímetros, por lo que nuestras medidas tienen una cota de error absoluto de $0,5 \text{ dm}$ (es decir, el valor real podría ser 0,5 dm mayor o menor).

Las medidas obtenidas son:

• Largo: $20 \text{ dm}$

• Ancho: $10 \text{ dm}$

• Alto: $15 \text{ dm}$

Calcule el volumen del tanque ($V = \text{largo} \times \text{ancho} \times \text{alto}$) y determine entre qué dos valores (intervalo) se encuentra el volumen real del tanque, considerando las cotas de error de cada medida.

Vamos a aproximar el número irracional $\sqrt{10}$.

1. a) Escriba la aproximación de $\sqrt{10}$ por redondeo a las décimas, a las centésimas y a las milésimas.
2. b) Calcule el error absoluto cometido en cada uno de los tres casos anteriores (usando el valor de la calculadora como "valor real").
3. c) ¿Cuántas cifras decimales necesitamos tomar para que el error absoluto sea menor que $0,0001$? Justifique su respuesta sin necesidad de escribir todas las cifras, usando la lógica de las cotas de error.

Un velocímetro digital de una bicicleta marca la velocidad con un solo decimal. En un momento dado, marca $24,5 \text{ km/h}$.

Sabemos que este aparato aproxima por redondeo a la décima más cercana.

1. a) Escriba el intervalo de valores reales posibles en el que se encuentra la velocidad exacta de la bicicleta. Es decir, ¿cuál es la velocidad mínima y máxima que podría llevar el ciclista para que el aparato marque 24,5?
2. b) Si el ciclista mantiene esa velocidad durante 2 horas exactas, ¿cuál es la diferencia máxima en millas (cota de error absoluto) entre la distancia calculada con el valor 24,5 y la distancia real posible?

Se quiere parcelar un terreno rectangular para construir viviendas.

Las dimensiones del terreno son $\frac{200}{3}$ pies de largo y $\frac{100}{7}$ pies de ancho.

Si trabajamos con fracciones, el cálculo es exacto, pero los trabajadores necesitan números decimales.

1. a) Calcule el área exacta del terreno usando las fracciones.
2. b) Aproxime cada dimensión a dos cifras decimales (centésimas) y calcule el área con esos valores aproximados.
3. c) ¿Cuál es el error relativo cometido al calcular el área con los valores aproximados respecto al valor exacto de la fracción?

Calcule paso a paso el error absoluto y relativo en la siguiente operación combinada, teniendo en cuenta el orden de operaciones.

Dados los números $A = 2,86$ y $B = 4,13$, aproximaciones de unos valores reales desconocidos, pero sabiendo que ambos han sido redondeados a las centésimas.

Calcule el valor de $C = \frac{A + B}{2}$.

Razone: ¿Cuál es la cota de error absoluto del resultado $C$? (Pista: Piense en el valor máximo y mínimo que podrían tener A y B antes de ser redondeados).