Ejercicios: Teorema de Tales

En el siguiente dibujo, las rectas $r$ y $s$ son cortadas por tres rectas paralelas ($a$, $b$ y $c$). Sabiendo que los segmentos determinados en la recta $r$ miden $AB = 4\text{ cm}$ y $BC = 6\text{ cm}$, y que el segmento homólogo a $AB$ en la recta $s$ mide $A'B' = 2\text{ cm}$, calcula la longitud del segmento $B'C'$.

Dibuja un segmento $AB$ que mida $10\text{ cm}$ en tu cuaderno. Utilizando el método del Teorema de Tales, divídelo exactamente en $4$ partes iguales. Describe brevemente los pasos que has seguido (trazado de la semirrecta auxiliar, divisiones iguales y unión de los extremos).

Un joven de $1,5\text{ metros}$ de altura proyecta una sombra de $1\text{ metro}$ de largo. En ese mismo instante, la sombra de una farola de la calle mide $4\text{ metros}$. ¿Qué altura tiene la farola? Dibuja un esquema con dos triángulos rectángulos para visualizar la situación.

Dos triángulos están en posición de Tales. El triángulo pequeño tiene lados que miden $3\text{ cm}$, $4\text{ cm}$ y $5\text{ cm}$. Si el lado correspondiente al de $3\text{ cm}$ en el triángulo grande mide $9\text{ cm}$, ¿cuánto medirán los otros dos lados del triángulo mayor?

Un carpintero está construyendo una estantería y quiere comprobar si las dos baldas son paralelas. Para ello, mide las distancias en los soportes laterales. En el lado izquierdo, la distancia entre el suelo y la primera balda es de $30\text{ cm}$, y entre la primera y la segunda hay $40\text{ cm}$. En el lado derecho, la distancia al suelo es de $45\text{ cm}$ y entre baldas hay $60\text{ cm}$. ¿Son las baldas paralelas? Justifica tu respuesta utilizando la proporción del Teorema de Tales.

Calcula el valor de la incógnita $x$ en la siguiente figura, sabiendo que los segmentos horizontales son paralelos entre sí.

Divide un segmento de $7\text{ cm}$ en dos partes tales que su relación sea $2$ a $3$. Para ello, utiliza una semirrecta auxiliar y marca $5$ divisiones iguales ($2+3$). ¿Cuánto mide cada uno de los dos nuevos segmentos obtenidos sobre el original?

En un parque, un árbol de $2\text{ metros}$ de altura proyecta una sombra de $3,5\text{ metros}$. A pocos pies hay una estatua cuya sombra mide exactamente $7\text{ metros}$. ¿Cuál es la altura de la estatua? Utiliza la semejanza de triángulos que establece el Teorema de Tales.

En el siguiente diagrama, las rectas $r$ y $s$ son cortadas por tres rectas paralelas ($a$, $b$ y $c$). Utiliza los datos proporcionados para calcular la longitud del segmento desconocido $x$.

Un joven diseñador gráfico está creando un logotipo que incluye dos triángulos en posición de Tales. Sabiendo que el segmento $DE$ es paralelo a $BC$, calcula las longitudes de los segmentos $AD$ y $BC$ si conocemos que $AB = 12$ pulgadas, $AE = 5$ pulgadas, $AC = 15$ pulgadas y $DE = 3$ pulgadas.

Para medir la altura de una canasta de baloncesto, un alumno de 7.º grado coloca un palo vertical de $1,5$ pies de altura de forma que el extremo de su sombra coincide exactamente con el extremo de la sombra de la canasta. Si la sombra del palo mide $2,1$ pies y la distancia desde la base del palo hasta la base de la canasta es de $2,2$ pies, ¿qué altura tiene la canasta?

Divide gráficamente un segmento $AB$ de $9$ pulgadas de longitud en tres partes que sean proporcionales a los números $2$, $3$ y $4$. Explica brevemente los pasos realizados basándote en el Teorema de Tales.

En una estantería de diseño, los soportes metálicos son paralelos entre sí. Si las baldas de madera cortan a estos soportes como se muestra en la imagen, calcula la medida de los estantes marcados con $x$ e $y$.

Halla el cuarto proporcional de tres segmentos cuyas longitudes son $a = 8$ pulgadas, $b = 12$ pulgadas y $c = 10$ pulgadas. Realiza tanto el cálculo numérico como la construcción geométrica utilizando el Teorema de Tales sobre dos semirrectas concurrentes.

Comprueba si las rectas $r$ y $s$ de la siguiente figura son paralelas. Para ello, verifica si se cumple la relación de proporcionalidad entre los segmentos que determinan sobre las rectas secantes que las cortan. Justifica tu respuesta con los cálculos necesarios.

Una escalera de mano está apoyada en una pared. Los peldaños son paralelos al suelo. El primer peldaño está a $30$ pulgadas del suelo siguiendo la inclinación de la escalera, y el segundo a otras $30$ pulgadas del primero. Si la distancia horizontal desde la base de la escalera hasta la pared es de $1,2$ pies, ¿cuál es la distancia horizontal desde la base hasta la vertical del segundo peldaño?

En una estructura de diseño para un puente peatonal, se han colocado tres vigas de refuerzo horizontales que son paralelas entre sí. Las vigas están unidas por dos tirantes de acero oblicuos, como se muestra en la figura. Sabiendo que los segmentos determinados en el primer tirante miden $x$ y $x + 2$ pies, y los segmentos correspondientes en el segundo tirante miden $3$ y $4$ pies, calcula el valor de $x$ y la longitud total del primer tirante.

Un artista urbano quiere proyectar la sombra de una escultura vertical de $2,5$ pies de altura sobre una pared que está a una distancia determinada. Para ello, coloca un foco de luz en el suelo a $6$ pies de la escultura. Si la sombra proyectada en la pared mide exactamente $4$ pies de altura, ¿a qué distancia se encuentra la pared respecto al foco de luz? Si el artista acerca el foco $2$ pies hacia la escultura, ¿cuánto medirá la nueva sombra?

En un parque de aventuras, un cable de tirolina une la parte superior de dos torres verticales. Una barra de seguridad de $3$ pies de altura se coloca perpendicular al suelo, de forma que toca exactamente el cable de la tirolina. Si la distancia desde la base de la torre pequeña hasta la barra es de $12$ pies y la distancia desde la barra hasta el anclaje del cable en el suelo es de $8$ pies, calcula la altura de la torre pequeña. Si la torre grande está a $30$ pies del anclaje del suelo, ¿cuál es su altura?

Para medir la profundidad de un pozo circular de $2$ pies de diámetro, una persona de $1,70$ pies de altura se sitúa a $1,2$ pies del borde del pozo. Desde esa posición, sus ojos (situados a $1,60$ pies del suelo) ven alineados el borde del pozo con el extremo inferior de la pared opuesta. Dibuja un esquema de la situación y calcula la profundidad del pozo utilizando el Teorema de Tales.

Un carpintero está construyendo una estantería de diseño con forma de triángulo rectángulo. Ha colocado dos baldas horizontales paralelas a la base. La base de la estantería mide $1,2$ pies. La primera balda está situada a una altura de $40$ pulgadas respecto a la base y mide $90$ pulgadas de largo. La segunda balda mide $60$ pulgadas de largo. ¿A qué altura respecto a la base se encuentra la segunda balda? ¿Cuál es la altura total de la estantería? (Expresa todos los resultados en pulgadas).

Dos edificios situados en la misma calle proyectan sombras que se superponen en un momento dado del día. El edificio A tiene una altura de $18$ pies y proyecta una sombra de $12$ pies. El edificio B está situado detrás de modo que su sombra termina exactamente en el mismo punto que la del edificio A. Si la distancia entre la base del edificio A y el final de su sombra es de $12$ pies, y la distancia entre los dos edificios es de $10$ pies, calcula la altura del edificio B.

En un mapa a escala $1:2.500$, un terreno con forma de trapecio rectángulo tiene una base mayor de $8$ pulgadas y una base menor de $5$ pulgadas. Si en la realidad la altura de este terreno es de $100$ pies, calcula:

1. La longitud real de las bases en pies.

2. La medida de la altura en el mapa en pulgadas.

3. Si trazamos una línea paralela a las bases que divida la altura del mapa exactamente en dos partes iguales, ¿cuánto medirá esa nueva línea en el mapa?

Calcula el valor de los segmentos $y$ y $z$ en la siguiente configuración de rectas paralelas cortadas por secantes. Se sabe que la relación entre los segmentos superiores es $x / 2 = 5 / 4$. Utiliza los datos proporcionados en la imagen para plantear las proporciones necesarias basándote en el Teorema de Tales.