Ejercicios: Figuras semejantes

Un diseñador gráfico está creando dos carteles rectangulares que deben ser semejantes. El cartel original mide $60 \text{ cm}$ de ancho y $40 \text{ cm}$ de alto. Si el segundo cartel tiene un ancho de $120 \text{ cm}$, ¿cuál debe ser su altura para que mantenga la misma forma? Calcula también la razón de semejanza $k$ de la ampliación.

Observa estas dos fotografías de un mismo monumento. Sabemos que son figuras semejantes. Si en la foto pequeña la altura del monumento es de $5 \text{ cm}$ y su ancho es de $3 \text{ cm}$, y en la foto ampliada la altura es de $15 \text{ cm}$, ¿cuál será su ancho? Indica la razón de semejanza en forma de número decimal.

Para un proyecto de arte, Lucía ha dibujado un rayo en una cuadrícula. Ahora necesita dibujar otro rayo que sea una reducción del primero con una razón de semejanza $k = 0,5$. Si el rayo original mide $8 \text{ cm}$ de largo, ¿cuánto medirá el largo del nuevo rayo? ¿Qué significa que la razón de semejanza sea menor que $1$?

Dos pentágonos son semejantes y la razón de semejanza entre ellos es $k = 3$. Si el perímetro del pentágono más pequeño es de $25 \text{ cm}$, ¿cuál es el perímetro del pentágono mayor? Razona tu respuesta explicando la relación entre la razón de semejanza y los perímetros de figuras semejantes.

En la siguiente imagen se muestran tres triángulos rectángulos. Identifica cuáles de ellos son semejantes comprobando si sus lados homólogos son proporcionales. Calcula la razón de semejanza entre los dos que elijas.

• Triángulo A: catetos de $3 \text{ cm}$ y $4 \text{ cm}$.

• Triángulo B: catetos de $6 \text{ cm}$ y $8 \text{ cm}$.

• Triángulo C: catetos de $5 \text{ cm}$ y $10 \text{ cm}$.

Un mapa de una reserva natural está dibujado a una escala tal que $2 \text{ cm}$ en el papel representan $500 \text{ m}$ en la realidad. Si el sendero principal mide $6 \text{ cm}$ en el mapa, ¿cuál es su longitud real en pies? Expresa también la escala del mapa en el formato habitual $1:n$.

Una pantalla de tableta de forma rectangular tiene unas dimensiones de $24 \text{ cm} \times 18 \text{ cm}$. Queremos fabricar una funda para un modelo de teléfono inteligente más pequeño que sea semejante a la tableta. Si el lado mayor del teléfono inteligente mide $12 \text{ cm}$, ¿cuánto debe medir el lado menor? ¿Cuál es el porcentaje de reducción aplicado?

¿Son semejantes dos cuadrados si uno tiene un lado de $5 \text{ cm}$ y otro un lado de $12 \text{ cm}$? Justifica tu respuesta basándote en las dos condiciones que deben cumplir los polígonos para ser semejantes: ángulos correspondientes y lados homólogos.

Un diseñador gráfico está trabajando en el logotipo de una nueva aplicación. El diseño original cabe en un cuadrado de lado $4\text{ cm}$. Para el encabezado de la página web, necesita ampliarlo de modo que el nuevo lado sea de $10\text{ cm}$.

1. a) Calcula la razón de semejanza $k$ de la ampliación.
2. b) Si el logotipo original tiene una línea decorativa interna que mide $2,5\text{ cm}$, ¿cuánto medirá esa misma línea en el logotipo ampliado?

En clase de Arte, Lucía ha hecho un dibujo de un faro sobre una cuadrícula. Ahora quiere reproducirlo al triple de su tamaño original para decorar un mural.

1. a) Si en el dibujo original el faro tiene una base de $2\text{ cm}$, ¿qué ancho deberá tener la base en la reproducción?
2. b) Lucía calculó que el área que ocupa el faro en su cuaderno es de $12\text{ cm}^2$. ¿Qué superficie ocupará el faro en el mural? Recuerda la relación entre las áreas de figuras semejantes.

Dos marcos de fotos rectangulares son semejantes. El marco pequeño tiene unas dimensiones de $10\text{ cm} \times 15\text{ cm}$. El marco grande tiene un perímetro de $150\text{ cm}$.

1. a) ¿Cuál es la razón de semejanza entre el marco grande y el pequeño?
2. b) ¿Cuáles son las dimensiones (largo y ancho) del marco grande?

En un mapa de una isla de un videojuego, la distancia entre el "Puerto Pirata" y la "Montaña del Destino" es de $4,5\text{ cm}$. Si sabemos que la escala del mapa es $1:20.000$:

1. a) ¿Cuál es la distancia real, expresada en pies, entre estos dos puntos?
2. b) Si un bosque ocupa en el mapa una superficie de $3\text{ cm}^2$, ¿cuál es su superficie real en pies cuadrados?

Un centro comercial tiene una planta en forma de trapecio. En el plano arquitectónico, hecho a escala $1:500$, la base mayor mide $16\text{ cm}$, la base menor mide $12\text{ cm}$ y la altura es de $8\text{ cm}$.

1. a) Calcula las dimensiones reales de la planta del centro comercial en pies.
2. b) Calcula la razón entre el área del plano y el área real.

Se han fabricado dos señales de tránsito de "STOP" que son semejantes (octógonos regulares). La señal pequeña tiene un lado de $20\text{ cm}$ y un área de aproximadamente $1931\text{ cm}^2$. Si la señal grande tiene un lado de $30\text{ cm}$:

1. a) ¿Cuál es la razón de semejanza?
2. b) ¿Cuál es el perímetro de la señal grande?
3. c) ¿Cuál será el área de la señal grande? (Expresa el resultado en $\text{cm}^2$).

Un equipo de cine utiliza una maqueta de un rascacielos para una escena de acción. La maqueta mide $1,2\text{ m}$ de altura y su base tiene una superficie de $0,15\text{ m}^2$. Si el rascacielos real tiene una altura de $180\text{ m}$:

1. a) Calcula la escala a la que se ha construido la maqueta.
2. b) ¿Cuál es la superficie real de la base del edificio?

Observa las dos pantallas de televisión de la figura. Aunque tienen distintos tamaños, se dice que mantienen el mismo formato (son semejantes). La pantalla pequeña es de $32$ pulgadas y la grande es de $50$ pulgadas.

1. a) Si el ancho de la pantalla de $32$ pulgadas es de $70,8\text{ cm}$, ¿cuál es el ancho de la pantalla de $50$ pulgadas?
2. b) Si el área de la pantalla pequeña es de $2\,827\text{ cm}^2$, ¿cuál es el área de la pantalla grande?

Un estudiante de diseño gráfico está trabajando con un logotipo rectangular que mide $12\text{ cm}$ de ancho y $8\text{ cm}$ de alto. Primero, decide aplicar una ampliación del 150% para un cartel publicitario. Después, sobre ese cartel, realiza una reducción al 40% para adaptarlo a una tarjeta de presentación.

• a) ¿Cuál es la razón de semejanza total entre el logotipo original y el de la tarjeta de presentación?

• b) ¿Es el logotipo de la tarjeta de presentación más grande o más pequeño que el original? Razona la respuesta calculando las dimensiones finales.

• c) Si el área del logotipo original era de $96\text{ cm}^2$, ¿cuál será el área del logotipo en la tarjeta de presentación?

En una maqueta de un centro deportivo realizada a escala $1:250$, la piscina olímpica ocupa una superficie de $20\text{ cm}^2$ y tiene una capacidad (volumen) de $160\text{ cm}^3$.

• a) Calcula la superficie real de la piscina en pies cuadrados ($m^2$).

• b) Calcula la capacidad real de la piscina en galones ($L$). (Recuerda que $1\text{ dm}^3 = 1\text{ L}$).

• c) Si queremos hacer otra maqueta más pequeña donde la superficie de la piscina sea de solo $5\text{ cm}^2$, ¿qué escala deberíamos utilizar?

Un dron toma una fotografía vertical de un carro de $4,5\text{ metros}$ de longitud. En la pantalla del celular, que muestra la foto a tamaño real, el carro mide $1,8\text{ cm}$.

• a) ¿A qué escala está la imagen de la pantalla?

• b) En la misma foto, aparece un jardín rectangular que en la pantalla mide $5\text{ cm}$ de largo y $3\text{ cm}$ de ancho. ¿Cuál es el área real del jardín en pies cuadrados?

• c) Si el dron sube al doble de altura, ¿cuánto medirá el carro en la pantalla del celular si la cámara no cambia su zoom?

Tenemos dos recipientes semejantes para guardar palomitas de maíz. El recipiente pequeño tiene una altura de $15\text{ cm}$ y el grande una altura de $25\text{ cm}$. Si el costo del cartón para fabricar el recipiente pequeño es de $0,18\text{ \$}$, y el precio del cartón es proporcional a su superficie:

• a) ¿Cuál será el costo del cartón necesario para fabricar el recipiente grande?

• b) Si el recipiente pequeño tiene capacidad para $1,2\text{ kg}$ de palomitas, ¿cuántas libras de palomitas cabrán en el recipiente grande? (Supón que ambos se llenan hasta el borde).

Un arquitecto presenta el plano de un apartamento a escala $1:50$. En la sala, que es perfectamente rectangular, ha dibujado una alfombra que mide $6\text{ cm}$ de largo y $4\text{ cm}$ de ancho. El cliente le pide que la alfombra real sea un 20% más larga y un 20% más ancha.

• a) ¿Cuáles son las dimensiones reales de la alfombra solicitada por el cliente?

• b) ¿Cuál es la razón de semejanza entre la alfombra del dibujo y la alfombra real final?

• c) ¿Qué porcentaje ha aumentado el área de la alfombra real respecto a la que originalmente estaba prevista en el plano?

Dos piezas de un motor son semejantes. La pieza $A$ pesa $2,4\text{ kg}$ y está hecha de un material que cuesta $15\text{ \$/kg}$. La pieza $B$ es una reducción de la pieza $A$ con una razón de semejanza $k = 0,5$.

• a) Si ambas piezas están hechas del mismo material denso, ¿cuánto pesará la pieza $B$?

• b) ¿Cuál será el costo del material de la pieza $B$?

• c) Si la superficie de la pieza $A$ debe cubrirse con un antioxidante que cuesta $2\text{ \$}$ por cada $10\text{ cm}^2$ y el tratamiento de la pieza $A$ cuesta $48\text{ \$}$, ¿cuánto costará el tratamiento de la pieza $B$?

Un mapa tiene una escala gráfica donde un segmento de $4\text{ cm}$ representa $2\text{ km}$ reales. En este mapa, una reserva natural tiene forma de triángulo equilátero de lado $6\text{ cm}$.

• a) Calcula la escala numérica del mapa.

• b) Calcula el perímetro real de la reserva en millas.

• c) Si en un nuevo mapa la misma reserva tiene un área 4 veces mayor que en el primer mapa, ¿cuál es la escala del nuevo mapa?

Una empresa de mensajería utiliza cajas cúbicas semejantes. La caja "Estándar" tiene una arista de $20\text{ cm}$. La caja "Maxi" tiene un área total que es exactamente el doble de la caja "Estándar".

• a) Calcula la razón de semejanza entre la caja "Maxi" y la caja "Estándar" (expresa el resultado con dos decimales).

• b) ¿Cuál es la longitud de la arista de la caja "Maxi"?

• c) Si la caja "Estándar" puede contener $8\text{ litros}$ de arena, ¿cuántos galones puede contener la caja "Maxi"?