Ejercicios: El conjunto de los números racionales

La siguiente imagen representa la barra de carga de un vídeo de YouTube que se está procesando. ¿Qué fracción del vídeo se ha cargado ya? ¿Qué fracción falta por cargar? Expresa ambas fracciones de la forma más sencilla posible (fracción irreducible).

De los $320$ seguidores que tiene Lucía en su cuenta de fotografía, $\frac{3}{8}$ son de su escuela secundaria, $\frac{1}{4}$ son de su barrio y el resto son personas que ha conocido en viajes. Calcula:

1. a) El número de seguidores que van a su misma escuela secundaria.
2. b) El número de seguidores que viven en su barrio.

Para preparar un batido de frutas, la receta indica que se deben usar $\frac{2}{5}$ de galón de leche. Si queremos preparar una cantidad mayor manteniendo la proporción, escribe tres fracciones equivalentes a $\frac{2}{5}$ por amplificación.

Simplifica las siguientes fracciones hasta obtener la fracción irreducible en cada caso:

1. a) $\dfrac{12}{18}$

1. b) $\dfrac{20}{50}$

1. c) $\dfrac{15}{60}$

Compara los siguientes pares de números racionales utilizando los signos $<$ (menor que), $>$ (mayor que) o $=$ (igual que):

1. a) $\dfrac{4}{7} \square \dfrac{6}{7}$

1. b) $\dfrac{3}{2} \square \dfrac{3}{5}$

1. c) $\dfrac{1}{3} \square \dfrac{4}{12}$

Copia la tabla en tu cuaderno y marca con una "X" los conjuntos a los que pertenece cada número (un número puede pertenecer a varios conjuntos):

Dibuja una recta numérica y representa en ella, de forma aproximada, los siguientes números racionales. Indica si son mayores, menores o iguales que la unidad:

1. a) $\dfrac{1}{2}$

1. b) $\dfrac{5}{4}$

1. c) $\dfrac{3}{3}$

Tres amigos, Alba, Beto y Carlos, han pedido $2$ pizzas familiares para cenar. Si quieren repartirlas de forma que todos coman exactamente la misma cantidad, ¿qué fracción de pizza le corresponde a cada uno? ¿Es una fracción propia o impropia? Razona tu respuesta.

Un creador de contenido tiene un disco duro externo con una capacidad total de $500$ GB. Ha utilizado $\frac{3}{20}$ del espacio para clips de vídeo y $\frac{2}{5}$ para música y efectos de sonido.

1. a) Calcula qué fracción del disco duro representa el espacio ocupado en total.
2. b) ¿Qué fracción del disco queda todavía libre?
3. c) ¿Cuántos gigabytes (GB) de espacio quedan libres?

Halla el término desconocido $x$ en cada una de las siguientes igualdades para que las fracciones sean equivalentes:

1. a) $\frac{x}{12} = \frac{20}{48}$

1. b) $\frac{5}{9} = \frac{x}{45}$

1. c) $\frac{14}{x} = \frac{2}{7}$

1. d) $\frac{27}{81} = \frac{1}{x}$

Simplifica las siguientes fracciones hasta obtener la fracción irreducible. Para el apartado c, utiliza la descomposición en factores primos del numerador y del denominador.

1. a) $\frac{48}{72}$

1. b) $\frac{150}{375}$

1. c) $\frac{420}{1260}$

Ordena de menor a mayor los siguientes números racionales. Para ello, redúcelos primero a común denominador utilizando el mínimo común múltiplo:

Identifica las fracciones que corresponden a los puntos $A$, $B$ y $C$ señalados en la siguiente recta numérica:

Clasifica los siguientes números indicando a qué conjunto o conjuntos pertenecen (Naturales $\mathbb{N}$, Enteros $\mathbb{Z}$ o Racionales $\mathbb{Q}$):

1. a) $-5$

1. b) $\frac{18}{3}$

1. c) $0,75$

1. d) $-\frac{1}{4}$

1. e) $\frac{20}{5}$

Asocia cada número decimal con su correspondiente fracción generatriz simplificada:

1. $0,125$

2. $2,5$

3. $1{,}\hat{3}$

4. $0{,}\overline{45}$

1. a) $\frac{4}{3}$
2. b) $\frac{5}{11}$
3. c) $\frac{1}{8}$
4. d) $\frac{5}{2}$

Tres amigos están completando un álbum de estampas de fútbol. Álex ha pegado $\frac{1}{3}$ del total de estampas, Beatriz ha pegado $\frac{2}{5}$ del total y el resto de estampas los tiene Carlos.

1. a) ¿Qué fracción del álbum ha completado Carlos?
2. b) Si el álbum tiene un total de $300$ estampas, ¿cuántas ha pegado cada uno?
3. c) ¿Quién de los tres amigos ha pegado más estampas?

En una estación meteorológica de alta montaña, se han registrado las siguientes variaciones de temperatura respecto a la media estacional en grados Fahrenheit:

• Lunes: $-\frac{9}{4} \text{ } ^\circ\text{C}$

• Martes: $-2,1 \widehat{6} \text{ } ^\circ\text{C}$

• Miércoles: $-| -2,2 \text{ } | ^\circ\text{C}$

• Jueves: $-\frac{22}{10} \text{ } ^\circ\text{C}$

Representa estos cuatro valores en una recta numérica y ordénalos de forma creciente (de menor a mayor) utilizando el símbolo $<$. Justifica tu respuesta pasando todos los números a su forma de fracción irreducible.

Calcula la fracción generatriz irreducible de los siguientes números decimales periódicos. Posteriormente, encuentra un número racional comprendido entre ambos que tenga como denominador el número $11$.

1. a) $2,0 \widehat{45}$
2. b) $2, \widehat{045}$

Un satélite de comunicaciones envía una señal de ajuste cada $0,12\widehat{6}$ segundos. Una estación receptora está programada para captar señales solo en intervalos que sean múltiplos exactos de $\frac{19}{150}$ de segundo.

Razona matemáticamente si la estación receptora podrá captar la señal del satélite en algún momento. Para ello, expresa el tiempo de la señal como una fracción irreducible y compárala con el intervalo de la estación.

Diseña un mosaico cuadrado para una piscina. El mosaico se divide en tres zonas de diferentes colores:

• La Zona A ocupa $\frac{2}{5}$ del total.

• La Zona B ocupa $\frac{3}{7}$ de lo que queda tras delimitar la Zona A.

• La Zona C ocupa el resto de la superficie.

Si la superficie total de la piscina es de $140 \text{ m}^2$, calcula qué fracción del total representa la Zona C y cuántos pies cuadrados le corresponden. Expresa el resultado de la superficie de la Zona C como un número decimal exacto.

Tres amigos, Alex, Bea y Cris, están participando en una carrera de obstáculos. Alex ha completado las $\frac{13}{20}$ partes del recorrido, Bea el $64\%$ y Cris ha recorrido $0,6\widehat{3}$ del total.

1. a) Indica quién va en primera posición y quién va el último.
2. b) Si el recorrido total es de $4500$ pies, ¿cuántos pies le faltan a Cris para llegar a la meta?
3. c) Expresa la posición de cada uno como una fracción irreducible con el mismo denominador.

Encuentra una fracción propia cuya suma de los términos (numerador y denominador) sea $24$ y que sea equivalente a un número decimal periódico puro cuyo periodo tiene una sola cifra. ¿Cuántas soluciones posibles existen que cumplan esta condición? Justifica tu respuesta encontrando al menos dos de ellas.

Se quiere parcelar un terreno rectangular de $120,45$ pies de largo por $90,3$ pies de ancho en cuadrados iguales de la mayor superficie posible.

1. a) Expresa las dimensiones del terreno como fracciones irreducibles.
2. b) Calcula la medida del lado de cada cuadrado, sabiendo que debe ser una cantidad exacta de pulgadas.
3. c) ¿Cuántos cuadrados se obtendrán en total?

Considera los siguientes números racionales:

1. a) Sin realizar la división, ¿puedes asegurar qué tipo de decimal generará la fracción $x$? Justifica tu respuesta analizando los factores primos del denominador.
2. b) Demuestra si $x$ e $y$ son equivalentes.
3. c) Encuentra la fracción irreducible de la suma $x + y$. Expresa el resultado como un número decimal periódico mixto.