Ejercicios: Probabilidades

Clasifique los siguientes experimentos como aleatorios o deterministas justificando brevemente su respuesta:

1. a) Observar si mañana lloverá en su ciudad.
2. b) Medir el tiempo que tarda una piedra en caer desde un segundo piso.
3. c) Anotar el número premiado en el próximo sorteo de la lotería.
4. d) Saber la temperatura a la que hierve el agua destilada a nivel del mar.

Dispone de la siguiente ruleta de la fortuna dividida en ocho sectores iguales. Si la hace girar y anota el color resultante:

1. a) Escriba el espacio muestral $E$.
2. b) Indique dos sucesos elementales.
3. c) Escriba los elementos del suceso compuesto $A$: "caer en un color primario" (considerando como tales el rojo, el azul y el amarillo).

En una bolsa de deporte hay $6$ balones de fútbol, $4$ de básquetbol y $2$ de balonmano. Si se saca un balón al azar para empezar el entrenamiento, calcule la probabilidad de los siguientes sucesos aplicando la Ley de Laplace:

1. a) $P(\text{balón de fútbol})$
2. b) $P(\text{balón de baloncesto})$
3. c) $P(\text{balón que no sea de balonmano})$

Un juego de mesa utiliza un dado con forma de dodecaedro (12 caras iguales) numerado del $1$ al $12$. Calcule la probabilidad de obtener:

1. a) Un número primo.
2. b) Un múltiplo de $4$.
3. c) Un número mayor que $9$.

Se extrae una carta de una baraja española de $40$ naipes. Halle la probabilidad de los siguientes sucesos:

1. a) Sacar el Rey de Copas.
2. b) Sacar un "as".
3. c) Sacar una carta que sea del palo de Oros.
4. d) Sacar una carta que sea una "figura" (Sota, Caballo o Rey).

Se ha lanzado una tachuela muchas veces para observar si cae con la punta hacia arriba o hacia abajo. Los resultados se recogen en la siguiente tabla:

Lanzamientos	$50$	$100$	$500$	$1000$
Punta hacia arriba	$18$	$32$	$155$	$312$

1. a) Calcule la frecuencia relativa del suceso "caer con la punta hacia arriba" para cada columna.
2. b) Basándose en la Ley de los Grandes Números, ¿qué valor le asignaría a la probabilidad de que la tachuela caiga con la punta hacia arriba?

Un servicio de meteorología anuncia que la probabilidad de que mañana nieve en la sierra es de $0,35$.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no nieve?
2. b) Si el suceso $A$ es "que nieve", ¿cómo se llama el suceso de no nieve respecto a $A$?
3. c) Exprese ambas probabilidades en forma de porcentaje.

Lanzamos al aire dos monedas de $1$ dólar y observamos el resultado de las caras superiores.

1. a) Dibuje el diagrama de árbol para este experimento.
2. b) Escriba el espacio muestral completo.
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente dos "cruces"?

En una lista de reproducción de un servicio de música por streaming, Lucas tiene 40 canciones de diferentes géneros: 12 son de Pop, 8 de Rock, 15 de Trap y 5 de Indie. Si Lucas selecciona la opción de "reproducción aleatoria", calcula la probabilidad de que la primera canción que suene:

1. a) Sea de Trap.
2. b) No sea de Indie.
3. c) Sea de Pop o de Rock.

Lanzamos un dado para juegos de rol con forma de dodecaedro (12 caras numeradas del 1 al 12). Definimos los siguientes sucesos:

$A = \text{"Obtener un múltiplo de 3"}$

$B = \text{"Obtener un número mayor que 7"}$

Calcula las siguientes probabilidades:

1. a) $P(A)$
2. b) $P(B)$
3. c) $P(A \cap B)$
4. d) $P(A \cup B)$

En una clase de 8.º grado se ha realizado una encuesta sobre la red social preferida para seguir a influencers. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

	TikTok	Instagram	TOTAL
Chicos	12	6	18
Chicas	10	12	22
TOTAL	22	18	40

Si elegimos a un alumno al azar, calcula la probabilidad de que:

1. a) Sea una chica.
2. b) Prefiera Instagram.
3. c) Sea un chico que prefiera TikTok.
4. d) Sabiendo que es chico, prefiera Instagram.

En un torneo de videojuegos, un jugador tiene una probabilidad de $0,6$ de ganar la primera partida. Si gana la primera, su confianza aumenta y la probabilidad de ganar la segunda es de $0,7$. Sin embargo, si pierde la primera, la probabilidad de ganar la segunda baja a $0,3$.

Ayúdate de un diagrama de árbol para calcular la probabilidad de que:

1. a) Gane las dos partidas.
2. b) Gane al menos una de las dos partidas.

En una bolsa de deportes hay 5 camisetas blancas y 3 camisetas negras. Si extraemos dos camisetas al azar y de forma consecutiva sin devolver la primera a la bolsa, calcula la probabilidad de que:

1. a) Ambas sean blancas.
2. b) Sean de distinto color.
3. c) La segunda sea negra, sabiendo que la primera fue blanca.

Un estudiante ha comprobado que el autobús para ir a la escuela secundaria llega tarde 4 de cada 10 días por culpa del tráfico. Si para ir a la escuela debe tomar dos autobuses diferentes que funcionan de manera independiente, calcule:

1. a) La probabilidad de que ambos autobuses lleguen a tiempo.
2. b) La probabilidad de que al menos uno de los dos autobuses llegue tarde.

Se lanza una moneda y se hace girar una ruleta dividida en 5 sectores iguales numerados del 1 al 5.

1. a) Escriba el espacio muestral de este experimento compuesto.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener "cara" y un número par?
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener "cruz" y un número menor que 5?

En un bombo de lotería hay 100 bolas numeradas del 00 al 99.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída termine en 7?
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un número comprendido entre 20 y 35 (ambos incluidos)?
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea un número par ni múltiplo de 10?

Un desarrollador de videojuegos está probando un nuevo sistema de recompensas. Ha programado un cofre virtual que, al abrirse, utiliza un algoritmo para decidir el premio. Según los datos de los últimos $2000$ cofres abiertos por los jugadores, se han obtenido los siguientes resultados:

• Objeto común: $1240$ veces.

• Objeto raro: $680$ veces.

• Objeto legendario: $80$ veces.

1. a) Calcula la probabilidad empírica (frecuencia relativa) de obtener un objeto legendario.
2. b) Si el desarrollador afirma que la probabilidad teórica de obtener un objeto raro o legendario es del $40\%$, ¿crees que el algoritmo está funcionando correctamente según la Ley de los Grandes Números? Razona tu respuesta comparando las probabilidades.
3. c) Si un jugador abre dos cofres seguidos, ¿cuál es la probabilidad de que ambos contengan un objeto común? (Asume que los sucesos son independientes).

Dos equipos de E-sports, los "Pixels" y los "Lag-Killers", juegan la final de un torneo al mejor de tres partidas (gana el primero que consiga dos victorias). Por estadísticas previas, sabemos que en cada partida individual, los "Pixels" tienen una probabilidad de ganar de $P(P) = 0,6$, mientras que los "Lag-Killers" tienen $P(L) = 0,4$. No hay posibilidad de empate.

Utiliza un diagrama de árbol para calcular:

1. a) La probabilidad de que los "Pixels" ganen el torneo en solo dos partidas.
2. b) La probabilidad de que el torneo se decida en la tercera partida.
3. c) La probabilidad total de que los "Lag-Killers" remonten y ganen el torneo.

En un proyecto de reforestación escolar, tenemos dos maceteros con semillas. El macetero $A$ contiene $4$ semillas de roble y $6$ de pino. El macetero $B$ contiene $5$ semillas de roble y $3$ de pino.

Realizamos el siguiente experimento: extraemos una semilla al azar del macetero $A$ y la pasamos al macetero $B$ sin mirarla. Luego, extraemos una semilla del macetero $B$.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la semilla extraída de $B$ sea de roble?
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas semillas extraídas (la que pasamos de $A$ a $B$ y la de $B$) sean de la misma especie?

Una empresa de mensajería utiliza drones para entregar paquetes en una zona rural. El área de aterrizaje es un cuadrado de $10$ pies de lado. Debido a la imprecisión del sensor de viento, el paquete puede caer en cualquier punto del cuadrado con la misma probabilidad. Dentro de ese cuadrado, se ha pintado un círculo de seguridad de $3$ pies de radio. Si el paquete cae fuera del círculo, el dron debe aterrizar de nuevo por seguridad.

1. a) Calcula la probabilidad de que un paquete caiga dentro del círculo de seguridad en el primer intento.
2. b) Si el dron realiza dos entregas independientes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas caiga fuera del círculo? (Usa $\pi \approx 3,14$).

En un juego de mesa, se lanzan dos dados cúbicos de seis caras. Un jugador gana si la diferencia positiva entre las puntuaciones de los dos dados es un número primo.

1. a) Construye una tabla de doble entrada para mostrar todas las posibles diferencias.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de ganar el juego?
3. c) ¿Es más probable obtener una diferencia que sea número primo o una diferencia que sea múltiplo de $3$? Justifica tu respuesta calculando ambas probabilidades.

Se ha realizado un estudio sobre el uso de redes sociales en una escuela secundaria de $300$ alumnos. Los resultados son los siguientes:

• $180$ alumnos usan Instagram.

• $130$ alumnos usan TikTok.

• $40$ alumnos no usan ninguna de las dos redes.

Si elegimos un alumno al azar, calcula la probabilidad de que:

1. a) Use ambas redes sociales.
2. b) Use Instagram pero no TikTok.
3. c) Sabiendo que el alumno usa TikTok, ¿cuál es la probabilidad de que también use Instagram?

Un examen de opción múltiple consta de $4$ preguntas con $3$ opciones de respuesta cada una, de las cuales solo una es correcta. Un alumno que no ha estudiado decide responder a todas las preguntas al azar.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no acierte ninguna pregunta?
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que acierte exactamente dos preguntas?
3. c) Si para aprobar necesita acertar al menos $3$ preguntas, ¿qué probabilidad tiene de aprobar el examen?

En una caja de música hay $12$ púas de guitarra: $5$ son de color rojo, $4$ de color azul y $3$ de color negro. Si extraemos tres púas de la caja, una tras otra y sin devolución, calcula:

1. a) La probabilidad de que las tres púas sean del mismo color.
2. b) La probabilidad de que la primera sea roja, la segunda azul y la tercera negra, en ese orden exacto.
3. c) La probabilidad de que al menos una de las púas extraídas sea negra.