Ejercicios: El conjuntos de los números naturales

Los pitagóricos representaban los números mediante puntos formando figuras geométricas. Observa la siguiente serie de números triangulares y, sin necesidad de dibujar todos los puntos, indica cuántos puntos tendría el quinto número de la serie ($T_5$).

Caminando por el centro de tu ciudad, ves una placa en un monumento antiguo que indica el año de su construcción en números romanos: MDCCCXCVII. Traduce esa fecha a nuestro sistema de numeración decimal.

Un famoso streamer ha alcanzado la cifra de $2.045.703$ suscriptores en su canal. Realiza la descomposición polinómica de este número utilizando potencias de base $10$.

En el sistema de numeración decimal, el valor de una cifra depende de la posición que ocupa. En el número 7.475, indica qué valor representa el primer "7" (empezando por la izquierda) y qué valor representa el segundo "7". ¿Cuántas veces es mayor el primero respecto al segundo?

Representa en la siguiente recta numérica los puntos correspondientes a los números naturales $A = 2$, $B = 7$ y $C = 11$.

El lenguaje que utilizan las computadoras es el sistema binario (base 2), que solo utiliza los dígitos $0$ y $1$. Si el número binario $101$ equivale al número $5$ en nuestro sistema decimal, y el $110$ equivale al $6$, ¿a qué número decimal equivale el número binario $1000$?

Lucía quiere organizar su colección de $36$ calcomanías formando un cuadrado perfecto sobre la tapa de su álbum. ¿Cuántas calcomanías debe poner en cada lado del cuadrado para que no le sobre ninguna? Dibuja un esquema sencillo de la solución.

Los antiguos babilonios utilizaban un sistema sexagesimal (base 60) para medir el tiempo, un sistema que seguimos usando hoy en día. Si un partido de básquetbol dura $1$ hora, $22$ minutos y $15$ segundos, expresa la duración total del partido únicamente en segundos.

La población estimada de una red social en el año 2023 alcanzó la cifra de $1.205.040.300$ usuarios activos.

1. a) Escribe cómo se lee dicho número en castellano.
2. b) Realiza su descomposición polinómica utilizando potencias de base $10$.
3. c) ¿Cuál es el valor posicional de la cifra $5$ en dicho número?

Un arqueólogo ha descubierto una inscripción en la entrada de un antiguo templo que indica el año de su construcción en numeración romana: MMCDLIV.

1. a) Traduce el año al Sistema de Numeración Decimal.
2. b) Si el templo se restauró $136$ años después de su construcción, escribe el año de la restauración también en números romanos.

En informática, los números se representan habitualmente en el sistema binario. Un dispositivo de almacenamiento indica que tiene ocupados los siguientes sectores representados por el número binario $101101_2$.

1. a) ¿Qué número representa en nuestro sistema decimal?
2. b) Escribe el número decimal $75$ en código binario.

Los números triangulares son aquellos que pueden representarse mediante puntos formando un triángulo equilátero. Observa la siguiente secuencia:

1. a) ¿Cuántos puntos tendrá el sexto número triangular ($T_6$)?
2. b) Dibuja en tu cuaderno el número triangular $T_4$ y comprueba si la suma de dos números triangulares consecutivos $T_3 + T_4$ da como resultado un número cuadrado perfecto.

Un creador de contenido ha grabado tres videos para su canal. El primero dura $1$ h $15$ min $40$ s, el segundo dura $45$ min $25$ s y el tercero $1$ h $5$ s.

1. a) ¿Cuál es la duración total de los tres videos expresada en forma incompleja (segundos)?
2. b) Si quiere que la lista de reproducción dure exactamente $4$ horas, ¿cuánto tiempo de metraje le falta por grabar? Expresa el resultado en forma compleja (horas, minutos y segundos).

Considera el número natural $N = 47.082$.

1. a) Si intercambiamos la cifra de las unidades de millar con la cifra de las decenas, ¿cuál es la diferencia entre el número original y el nuevo número obtenido?
2. b) ¿Cuántas centenas completas hay en total en el número $N$?
3. c) Escribe el número natural más cercano a $N$ que termine en tres ceros.

En un almacén de logística se organizan cajas de zapatos formando cubos perfectos. Si una estantería tiene una base cuadrada de $7 \times 7$ cajas y se apilan hasta alcanzar la misma altura para formar un cubo:

1. a) ¿Cuántas cajas hay en total en la estantería? Exprésalo en forma de potencia y calcula el valor.
2. b) Si se venden $150$ cajas, ¿cuál es el número máximo de cajas que pueden seguir formando un cuadrado perfecto en el suelo del almacén? ¿Cuántas cajas sobrarían en ese caso?

Indica si las siguientes afirmaciones sobre el conjunto de los números naturales ($\mathbb{N}$) son verdaderas o falsas, justificando tu respuesta con un ejemplo o un contraejemplo:

1. a) El conjunto $\mathbb{N}$ es un conjunto finito porque siempre podemos escribir el número más grande posible.
2. b) Entre dos números naturales cualesquiera, por ejemplo el $4$ y el $5$, siempre existe otro número natural.
3. c) Todo número natural tiene un sucesor y, excepto el primero, todos tienen un antecesor.
4. d) El sistema de numeración decimal es posicional porque el valor de una cifra depende del lugar que ocupa.

En un yacimiento arqueológico en la antigua Mesopotamia, se ha encontrado una tablilla con un inventario de granos. El sistema mesopotámico es sexagesimal (base $60$) y posicional. Los símbolos utilizados son la cuña vertical ($\curlyvee$) que vale $1$ y la cuña horizontal ($\prec$) que vale $10$.

Traduce a nuestro sistema decimal el número representado en la siguiente tablilla, teniendo en cuenta que el espacio entre los grupos de símbolos indica un cambio de orden de unidad:

Escribe la expresión aritmética completa y el resultado nal en el sistema de numeración decimal.

Un servidor de datos utiliza focos LED para mostrar códigos de error en binario. Cada foco encendido representa un $1$ y cada foco apagado un $0$. El sistema lee los focos de derecha a izquierda, donde el primer foco de la derecha representa $2^0$, el segundo $2^1$, el tercero $2^2$, y así sucesivamente.

Si el servidor muestra el siguiente estado, determina el número decimal del código de error y escribe su descomposición polinómica en potencias de base $10$.

Los pitagóricos estudiaban los números poligonales. Observa la siguiente secuencia de números hexagonales y responde:

1. Dibuja o describe cómo sería la figura del cuarto número hexagonal ($H_4$).

2. ¿Cuántos puntos tendrá la figura $H_5$?

3. Sabiendo que la fórmula para calcular el número hexagonal que ocupa la posición $n$ es $H_n = 2n^2 - n$, calcula el valor para $H_{12}$.

En un desafío de lógica matemática, se te entrega una expresión a la que le faltan paréntesis para que el resultado sea correcto. Coloca los paréntesis necesarios para que se cumpla la igualdad:

Una vez resuelto, explica paso a paso la jerarquía de operaciones que has seguido para llegar al resultado de $25$.

Un número natural de cuatro cifras cumple las siguientes condiciones:

• Es un número capicúa (se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda).

• La suma de sus cifras es $22$.

• La cifra de las unidades de millar es el triple que la cifra de las centenas.

Determina razonadamente de qué número se trata y represéntalo mediante su descomposición polinómica.

Una empresa de mensajería organiza sus envíos en tres tipos de cajas. El costo de envío se calcula con la siguiente expresión, donde $x$ es el número de cajas pequeñas, $y$ el de medianas y $z$ el de grandes:

Si un cliente envía $15$ cajas pequeñas, $15$ medianas y $15$ grandes:

1. Calcula el costo total de la operación.

2. Aplica la propiedad distributiva para extraer el factor común y reescribir la expresión de forma que sea más sencilla de calcular para un mismo número de cajas de cada tipo.

3. Si el precio de cada caja sube $\$2$, ¿cómo variaría el factor común?

El corazón de un colibrí late aproximadamente $1200$ veces por minuto.

1. ¿Cuántas veces latirá en un día completo? Expresa el resultado en notación científica.

2. Si el colibrí vive una media de $5$ años, ¿cuántos latidos dará en toda su vida? (Considera un año como $365$ días).

3. Utiliza la jerarquía de operaciones para escribir una única expresión que calcule los latidos totales en esos $5$ años.

Imagina una bacteria que se reproduce por bipartición (se divide en dos) cada $20$ minutos. Si empezamos con una sola bacteria a las 08:00 de la mañana:

1. ¿Cuántas bacterias habrá a las 10:00 de la mañana? Exprésalo como una potencia.

2. Representa la situación mediante un esquema o tabla que relacione el tiempo transcurrido con el número de bacterias.

3. Si el recipiente donde están las bacterias se llena por completo cuando hay $2^{18}$ bacterias, ¿a qué hora ocurrirá esto?