Ejercicios: Poliedros

Un arquitecto está diseñando un nuevo modelo de cristalera para un centro comercial con forma de prisma pentagonal recto. Observa el dibujo y contesta a las siguientes preguntas para ayudarle con el inventario de materiales:

1. a) ¿Cuántas caras tiene el prisma en total?
2. b) ¿Cuántos vértices tiene la figura?
3. c) ¿Cuántas aristas hay en total?

En clase de Tecnología, los alumnos están construyendo una estructura para una maqueta. Han diseñado un poliedro que tiene $7$ caras y $10$ vértices. Utiliza el Teorema de Euler ($C + V = A + 2$) para calcular cuántas varillas (aristas) necesitarán para montar la estructura completa.

Los dados que se utilizan en los juegos de rol suelen tener las formas de los poliedros regulares. Si estás jugando con un dado que tiene forma de octaedro:

1. a) ¿Qué forma tienen sus caras?
2. b) ¿Cuántas caras tiene este dado?
3. c) ¿Cuántas aristas se encuentran en cada uno de sus vértices?

Clasifica las siguientes pirámides según el polígono de su base y determina si son regulares o irregulares justificando tu respuesta:

1. a) Una pirámide cuya base es un cuadrado de $5\text{ cm}$ de lado y sus caras laterales son triángulos isósceles iguales.
2. b) Una pirámide cuya base es un rectángulo de $4\text{ cm}$ por $6\text{ cm}$.

Sofía quiere fabricar una caja de cartón para un regalo con forma de cubo. Para ello, dibuja diferentes plantillas en su cuaderno. Indica razonadamente cuál de los dos siguientes desarrollos planos permite formar un cubo perfecto y cuál no.

Observa a tu alrededor en el salón de clases o en tu habitación y nombra:

1. a) Un objeto que tenga forma de ortoedro.
2. b) ¿Cuántas caras tiene ese objeto?
3. c) ¿Son todas sus caras iguales o hay caras diferentes? Describe cómo son.

Señala cuál de las siguientes afirmaciones sobre los poliedros es FALSA y explica por qué:

1. Un poliedro convexo es aquel que, al apoyarlo sobre cualquier cara, no "se hunde".

2. El tetraedro regular es el poliedro que tiene menos caras posibles.

3. En un poliedro regular, en cada vértice pueden concurrir un número diferente de aristas.

4. El cubo es un tipo especial de prisma cuadrangular.

Calcula el área total de un cubo de Rubik si sabemos que la longitud de cada una de sus aristas es de $6\text{ cm}$. Recuerda que el cubo tiene $6$ caras cuadradas idénticas.

Un poliedro convexo tiene el mismo número de caras que un octaedro regular y el mismo número de vértices que un cubo. Utilice el Teorema de Euler para determinar cuántas aristas tiene este cuerpo geométrico. Represente esquemáticamente un poliedro que cumpla estas características (por ejemplo, un prisma hexagonal).

Una conocida marca de chocolates vende sus productos en cajas con forma de prisma triangular regular. Si el lado del triángulo de la base mide $6 \text{ cm}$ y la altura del prisma es de $20 \text{ cm}$, calcule el área total de cartón necesaria para fabricar una caja. (Recuerde que primero debe hallar la altura del triángulo de la base usando el Teorema de Pitágoras).

Calcule el volumen de una pirámide cuadrangular regular cuya arista de la base mide $10 \text{ cm}$ y cuya arista lateral mide $13 \text{ cm}$. Para resolverlo, deberá calcular primero la apotema de la pirámide y después su altura utilizando el Teorema de Pitágoras.

Un escultor quiere crear una pieza tallando un cubo de madera de $10 \text{ cm}$ de arista. Si le quita las cuatro esquinas superiores cortando por los puntos medios de las aristas que concurren en cada vértice, cuente cuidadosamente cuántas caras, vértices y aristas tendrá la figura resultante. Compruebe si sigue cumpliendo el Teorema de Euler.

En una exposición de arte moderno, hay una vitrina con forma de ortoedro cuyas dimensiones son $80 \text{ cm}$ de largo, $60 \text{ cm}$ de ancho y $1 \text{ m}$ de alto. El artista quiere colocar una vara metálica que atraviese la vitrina desde un vértice inferior hasta el vértice opuesto superior. ¿Cuál debe ser la longitud exacta de la vara?

Se desea pintar el exterior de una carpa publicitaria que tiene forma de pirámide hexagonal regular. El lado del hexágono de la base mide $4 \text{ m}$ y la apotema de la cara lateral mide $7 \text{ m}$. Si la lata de pintura cubre $10 \text{ m}^2$ y no se pinta el piso de la carpa, ¿cuántas latas de pintura se deben comprar como mínimo?

Calcule el volumen de un prisma de base trapezoidal (un tanque de agua). Las bases del trapecio miden $2 \text{ m}$ y $3 \text{ m}$, su altura es de $1,5 \text{ m}$ y la longitud total del tanque (altura del prisma) es de $5 \text{ m}$. Si el tanque está lleno hasta la mitad, ¿cuántos galones de agua contiene?

¿Es posible construir un poliedro regular cuyas caras sean hexágonos regulares? Justifica tu respuesta analizando cuántos grados sumarían los ángulos de las caras que concurren en un mismo vértice. Repite el razonamiento para explicar por qué solo existen cinco poliedros regulares convexos.

Un estudio de diseño de videojuegos está creando un nuevo "power-up" con forma de poliedro convexo. Los artistas han decidido que el objeto tenga exactamente $14$ caras y $24$ aristas. Según el Teorema de Euler, ¿cuántos vértices debe tener el modelo 3D para que sea geométricamente posible? Si el poliedro final resulta ser un cuboctaedro (un poliedro formado por cuadrados y triángulos equiláteros), y sabemos que en cada uno de sus vértices concurren exactamente $4$ aristas, compruebe si sus cálculos coinciden con la estructura real de este cuerpo.

Está armando una computadora por partes y quiere instalar una tarjeta gráfica de última generación. El gabinete de la computadora (la torre) es un ortoedro de dimensiones $45\text{ cm}$ de alto, $20\text{ cm}$ de ancho y $40\text{ cm}$ de largo. La tarjeta gráfica es muy larga y quiere saber si cabría colocándola de forma diagonal, uniendo un vértice inferior de la parte delantera con el vértice superior opuesto de la parte trasera. Calcule la longitud de la diagonal del ortoedro y determine si una tarjeta de $62\text{ cm}$ de largo cabría en su interior.

Una empresa de joyería artesanal quiere fabricar un colgante de plata con la forma de un octaedro regular. Si cada arista del octaedro mide $12\text{ mm}$, calcule la superficie total de plata que necesitarán para cubrir el colgante (el área total). Pista: Recuerde que un octaedro regular está formado por ocho triángulos equiláteros iguales. Necesitará calcular primero la altura de uno de esos triángulos usando el Teorema de Pitágoras.

Un arquitecto ha diseñado una claraboya para un centro comercial con forma de pirámide cuadrangular regular. La base es un cuadrado de $6\text{ m}$ de lado. Si el área de la superficie de cristal (el área lateral de la pirámide) es de $60\text{ m}^2$, calcule la altura real de la pirámide desde el centro de la base hasta la cúspide. Nota: Ten cuidado, primero deberá hallar la apotema de la pirámide a través del área lateral y luego aplicar Pitágoras para hallar la altura.

Imagine un tetraedro regular y un octaedro regular, ambos con la misma longitud de arista $a$. Un científico afirma que si se unen dos de estos poliedros por una de sus caras, el número de caras expuestas al exterior del nuevo cuerpo será siempre la suma de las caras de ambos menos dos.

1. a) Calcule el número de caras, vértices y aristas del cuerpo resultante de unir dos tetraedros por una cara.
2. b) ¿Se sigue cumpliendo el Teorema de Euler en este nuevo poliedro resultante? Justifique su respuesta.

Para un proyecto de tecnología, debe construir un altavoz con forma de prisma hexagonal regular. El perímetro de la base hexagonal es de $42\text{ cm}$ y la altura del altavoz es de $30\text{ cm}$. Para que el sonido sea óptimo, debe forrar las paredes laterales con una tela especial que cuesta $\$15\text{ \$/m}^2$. Calcule el costo total de la tela necesaria para forrar la superficie lateral de cinco altavoces iguales. (Recuerde realizar los cambios de unidades de $\text{cm}^2$ a $\text{m}^2$).

Un cristalógrafo está estudiando una piedra preciosa que tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. La base inferior es un cuadrado de $10\text{ cm}$ de lado, la base superior es un cuadrado de $4\text{ cm}$ de lado, y la altura del tronco (distancia entre bases) es de $4\text{ cm}$.

1. a) Calcule la longitud de la apotema de las caras laterales (que son trapecios).
2. b) Calcule el área total de la piedra preciosa.

Se quiere fabricar una caja metálica sin tapa que tenga forma de cubo y cuya diagonal mida exactamente $10\sqrt{3}\text{ cm}$.

1. a) Calcule cuánto debe medir la arista de dicha caja.
2. b) Si el metal utilizado pesa $2,5\text{ gramos}$ por cada $\text{cm}^2$, ¿cuál será la masa total de la caja una vez fabricada? (Recuerde que la caja no tiene tapa superior).