Ejercicios: El espacio

En el mundo del diseño de videojuegos, los objetos se definen por sus dimensiones. Indique cuántas dimensiones ($1$, $2$ o $3$) tienen los siguientes elementos que encontramos en una habitación:

1. a) El cable de unos auriculares estirado.
2. b) La pantalla plana de un monitor (sin contar su grosor).
3. c) Una caja donde guarda los juegos de la consola.
4. d) Un punto de luz en el techo.

Observe las aristas de este cubo y determine la posición relativa (paralelas, secantes o que se cruzan) de los siguientes pares de rectas que contienen a las aristas:

1. a) La recta que pasa por los puntos $A$ y $B$ con respecto a la que pasa por $C$ y $D$.
2. b) La recta que pasa por $A$ y $B$ con respecto a la que pasa por $B$ y $C$.
3. c) La recta que pasa por $A$ y $B$ con respecto a la que pasa por $G$ y $H$.

Imagine que las paredes, el piso y el techo de su salón de clases son planos. Indique la posición relativa de:

1. a) El plano del piso y el plano del techo.
2. b) El plano de la pared del pizarrón y el plano de la pared de la ventana (que está a su lado).
3. c) Una recta formada por la esquina entre dos paredes y el plano del piso.

Sabemos que por dos puntos del espacio pasa una única recta.

1. a) ¿Cuántas rectas pueden pasar por un único punto del espacio?
2. b) ¿Cuántos planos pueden contener a una única recta?
3. c) ¿Cuántos puntos, que no estén alineados, se necesitan como mínimo para definir un único plano?

En el espacio existen rectas que no son paralelas pero que nunca se cortan. Estas rectas se llaman rectas que se cruzan. Observe el dibujo de la rampa de skate y diga qué posición relativa tienen:

1. a) El borde superior de la rampa ($r$) y la línea de la base en el piso ($s$).
2. b) El borde vertical del barandal ($t$) y la recta $s$.

Dibuje en su cuaderno (o describa) la situación de una recta y un plano en los siguientes casos:

1. a) La recta es paralela al plano (piense en una luz fluorescente del techo y el piso).
2. b) La recta está contenida en el plano (piense en una línea pintada en el piso).
3. c) La recta es secante al plano (piense en un lápiz que atraviesa una hoja de papel).

Muchos cuerpos geométricos se generan al hacer girar una figura plana alrededor de un eje. Estos se llaman cuerpos de revolución. Identifique qué figura (rectángulo, triángulo rectángulo o semicírculo) ha generado cada uno de estos objetos al girar:

1. a) Una lata de soda cilíndrica.
2. b) Un cono de tráfico.
3. c) Una bola de petanca.

Los cuerpos geométricos cuyas caras son todas polígonos se llaman poliedros. En cualquier poliedro simple, se cumple una relación famosa llamada Fórmula de Euler: $Caras + Vértices = Aristas + 2$.

Compruebe si se cumple esta fórmula para un cubo, sabiendo que tiene $6$ caras, $8$ vértices y $12$ aristas. Escriba la operación matemática.

Observe el siguiente cubo o hexaedro regular cuyos vértices han sido nombrados. Identifique las posiciones relativas de las aristas indicadas:

1. a) La arista $AB$ respecto a la arista $EF$.
2. b) La arista $AD$ respecto a la arista $CG$.
3. c) La arista $GH$ respecto a la arista $AB$.

En el diseño de una carpa publicitaria con forma de prisma triangular recto, nos interesa analizar la relación entre sus planos. Si consideramos el plano $\pi$ que contiene a la base inferior del prisma:

1. a) Indique qué caras del prisma generan planos secantes (intersecantes) al plano $\pi$.
2. b) Indique qué aristas del prisma son paralelas al plano $\pi$.
3. c) ¿Qué figura geométrica se forma en la intersección de una cara lateral con el plano de la base?

Un arquitecto está diseñando un monumento vanguardista que es un poliedro convexo. Para verificar su estructura, necesita comprobar el Teorema de Euler. El monumento tiene $8$ caras hexagonales y $6$ caras cuadradas.

1. a) Calcule el número total de aristas ($A$) del poliedro.
2. b) Utilizando el Teorema de Euler, determine el número de vértices ($V$) que tendrá el monumento.

Imagine que tiene una pieza metálica plana con la forma de un trapecio rectángulo, como la que se muestra en la figura. Si hacemos girar esta figura $360^{\circ}$ alrededor del lado que mide $8$ pulgadas (el eje vertical):

1. a) ¿Qué cuerpo de revolución se genera?
2. b) Dibuje de forma esquemática el cuerpo resultante indicando sus elementos básicos (radios y altura).

En una habitación de paredes perpendiculares, consideramos una de las esquinas del techo como el origen de puntos. Si trazamos una línea imaginaria que cruce la habitación desde esa esquina hasta la esquina opuesta del piso (diagonal de la habitación):

1. a) ¿Qué posición relativa tiene esa línea respecto al plano del piso?
2. b) ¿Se corta esa línea con la recta que forma la unión de dos paredes laterales? Justifique su respuesta.
3. c) ¿Cuántos puntos en común tiene la diagonal con el plano de una de las paredes?

Se realiza un corte a un cilindro recto de radio $r = 4$ pulgadas y altura $h = 10$ pulgadas mediante un plano. Describa qué figura plana se obtiene si:

1. a) El plano es paralelo a las bases del cilindro.
2. b) El plano es perpendicular a las bases y pasa por el centro de las mismas.
3. c) El plano es oblicuo a las bases y no llega a cortarlas.

Dada una pirámide cuadrangular regular, nombramos sus aristas básicas como $b_1, b_2, b_3, b_4$ y sus aristas laterales como $a_1, a_2, a_3, a_4$. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, razonando el porqué:

1. a) Cualquier pareja de aristas laterales son rectas que se cruzan.
2. b) Una arista básica y la arista lateral que sale de uno de sus extremos son rectas secantes.
3. c) Dos aristas básicas opuestas son paralelas entre sí.

Observe el desarrollo plano de este cuerpo geométrico. Sin realizar cálculos, responda:

1. a) ¿Qué poliedro se obtendrá al plegarlo? Clasifíquelo de forma completa.
2. b) ¿Cuántos ángulos diedros tendrá el cuerpo una vez montado?
3. c) ¿Cuál es el orden de cada uno de sus vértices (cuántas caras concurren en ellos)?

Imagina que estás diseñando una estructura para un parque de aventuras. Tienes un cubo gigante cuyos vértices están nombrados como $A, B, C, D$ (base inferior) y $E, F, G, H$ (base superior, de modo que $E$ está encima de $A$, $F$ encima de $B$, etc.).

Si trazamos una línea recta que pasa por los puntos medios de las aristas $AE$ y $CG$, y otra línea recta que une los vértices $B$ y $H$:

1. a) Indica cuál es la posición relativa de estas dos rectas en el espacio. Justifica si se cortan, son paralelas o se cruzan.
2. b) Si trazamos un plano que pase por los puntos $B$, $D$ y $H$, ¿qué tipo de sección (figura plana) se forma al cortar el cubo?
3. c) ¿Cuántas aristas del cubo son secantes al plano definido por la cara $ADHE$?

Un arqueólogo ha encontrado una pieza de cristal con forma de octaedro regular perfecto. Para protegerla, decide construir una caja de madera con forma de cubo que se ajuste exactamente a los vértices del octaedro.

1. a) Si cada arista del octaedro mide $10 \text{ cm}$, calcule el número de caras, vértices y aristas de la figura y compruebe si se cumple el Teorema de Euler.
2. b) Explique razonadamente qué relación existe entre los centros de las caras del cubo de madera y los vértices del octaedro.
3. c) Si se corta el octaedro por un plano paralelo a una de sus caras que pase exactamente por el centro del cuerpo, ¿qué polígono se obtendrá en la sección?

En una clase de tecnología están construyendo una maqueta de un edificio moderno. La pieza central es un prisma hexagonal regular recto. Para darle un toque artístico, quieren realizar cortes planos con una sierra eléctrica.

1. a) Si el plano de corte pasa por tres vértices no consecutivos de la base superior, describa la forma de la sección obtenida.
2. b) ¿Es posible realizar un corte de tal manera que la sección resultante sea un rectángulo? ¿Y un cuadrado? Describa cómo debería ser el plano en cada caso.
3. c) Si el prisma tiene $12$ aristas básicas y $6$ aristas laterales, ¿cuántas diagonales totales (que no pasen por las caras) tiene este poliedro?

Un fabricante de cajas de regalo quiere crear un modelo especial "dual". Primero fabrica un tetraedro regular de arista $L$. Luego, une los puntos medios de todas las aristas del tetraedro entre sí.

1. a) ¿Qué poliedro se forma en el interior al unir esos puntos medios?
2. b) Calcule el número de caras, vértices y aristas del nuevo poliedro resultante.
3. c) Si el tetraedro original cumple el Teorema de Euler ($C + V = A + 2$), demuestre si el poliedro interior también lo cumple.

Un decorador de interiores quiere colocar un cable de luces led que cruce una habitación rectangular de $6 \text{ m}$ de largo, $4 \text{ m}$ de ancho y $3 \text{ m}$ de alto. El cable debe ir desde un rincón del piso ($A$) hasta el rincón opuesto del techo ($G$).

1. a) Calcule la longitud mínima del cable si este debe ir tensado por el interior de la habitación (la diagonal del ortoedro).
2. b) Si el decorador decide pasar el cable por las paredes (sin cruzar el aire), ¿cuál sería la distancia más corta entre esos mismos dos puntos? (Pista: piense en el desarrollo plano de la habitación).
3. c) Indique cuántas aristas de la habitación son paralelas a la recta que contiene a la arista de la altura donde se encuentra el punto $A$.

Considere un cubo de queso de $4 \text{ cm}$ de lado. Queremos cortarlo con un cuchillo muy fino de modo que la sección sea un hexágono regular.

1. a) Describa con precisión por qué puntos de las aristas del cubo debe pasar el plano para obtener dicho hexágono.
2. b) ¿Cuántas diagonales de cara tiene el cubo en total? ¿Y cuántas diagonales de cuerpo (interiores)?
3. c) Si llamamos $P$ al plano que contiene al hexágono, indique una arista del cubo que sea paralela a dicho plano y una que sea secante.

Una empresa de logística utiliza contenedores con forma de prisma trapezoidal recto (la base es un trapecio isósceles).

1. a) Determine el número de ángulos diedros rectos que tiene este cuerpo.
2. b) Si prolongamos las dos caras laterales no paralelas, explique qué ocurriría: ¿Se cortarían en una recta? ¿Serían paralelas? ¿Qué cuerpo geométrico se formaría si cortáramos esa nueva estructura con un plano paralelo a la base?
3. c) Compruebe si un prisma trapezoidal con bases de $5$ lados (si fuera un prisma pentagonal irregular) cumple siempre el Teorema de Euler.

Estamos estudiando las posiciones relativas en el espacio dentro de un poliedro complejo: un dodecaedro regular (12 caras pentagonales).

1. a) Elija una cara cualquiera como plano $\pi$. ¿Cuántas caras del dodecaedro son paralelas a $\pi$?
2. b) ¿Cuántas aristas del dodecaedro son paralelas a una arista dada?
3. c) Si en cada vértice del dodecaedro se unen 3 caras, y cada cara tiene 5 vértices, razone mediante el cálculo el número total de vértices del cuerpo (teniendo en cuenta que cada vértice es compartido).