Ejercicios: Identidades notables

Desarrolle las siguientes expresiones utilizando las identidades notables para convertirlas en un polinomio ordenado:

1. a) $(3x + 5)^2$

1. b) $(2x - 7y)^2$

1. c) $(x^2 + 4) \cdot (x^2 - 4)$

1. d) $(\frac{x}{2} - 6)^2$

Observe la siguiente figura que representa un cuadrado de lado $(x + 3)$ al que se le ha recortado un cuadrado interior de lado $(x - 1)$. Utilice las identidades notables para escribir una expresión simplificada que represente el área sombreada en color naranja.

Lucía y Diego están haciendo la tarea de matemáticas y han cometido algunos errores comunes. Identifique cuál de las siguientes igualdades es incorrecta y corríjala en su cuaderno explicando por qué está mal:

1. a) $(x + 4)^2 = x^2 + 16$

1. b) $(x - 5) \cdot (x + 5) = x^2 - 25$

1. c) $(2a - 3)^2 = 4a^2 - 12a + 9$

Las identidades notables también sirven para realizar cálculos mentales rápidos con números grandes. Utilice la identidad del producto de una suma por una diferencia $(a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2$ para calcular los siguientes productos de forma ingeniosa:

1. a) $52 \cdot 48$ (Pista: considere $50 + 2$ y $50 - 2$)

1. b) $99 \cdot 101$

1. c) $35 \cdot 25$

Copie y complete en su cuaderno los términos que faltan para que estas expresiones formen un trinomio cuadrado perfecto o una diferencia de cuadrados:

1. a) $x^2 + 10x + \_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_)^2$

1. b) $25a^2 - \_\_\_\_ + 1 = (\_\_\_\_ - 1)^2$

1. c) $16x^2 - \_\_\_\_ = (\_\_\_\_ + 3y) \cdot (\_\_\_\_ - 3y)$

Simplifique al máximo la siguiente expresión algebraica operando primero las identidades notables y reduciendo después los términos semejantes:

$E = (2x + 1)^2 - (2x - 1)^2 + (x + 1) \cdot (x - 1)$

Un municipio quiere diseñar una nueva plaza cuadrada. En el centro habrá una zona ajardinada, también cuadrada, rodeada por un camino de baldosas de ancho constante.

Si el lado total de la plaza mide $(3x + 2)$ pies y el lado del jardín central mide $(3x - 2)$ pies, calcule el polinomio simplificado que representa el área destinada únicamente al camino de baldosas.

En el cubo de la figura, de arista $x$, se ha trazado la diagonal de una de sus caras y la diagonal principal del cuerpo. Se forma además un hexágono regular al cortar el cubo por un plano $P$ que pasa por los puntos medios de sus aristas.

1. a) Exprese mediante un binomio al cuadrado el área de una cara si la arista aumentase en $2\text{ cm}$.
2. b) Si el área del hexágono se puede expresar como $\frac{3\sqrt{3}}{4} x^2$, demuestre utilizando identidades notables que si la arista fuera $(x+y)$, la nueva área del hexágono sería $\frac{3\sqrt{3}}{4}(x^2 + 2xy + y^2)$.
3. c) Calcule el valor exacto del perímetro del hexágono para $x = 4\text{ cm}$ (simplifique la raíz).

Relacione en su cuaderno cada producto notable con su expresión desarrollada correspondiente:

• A. $(x + 2)^2$

• B. $(x - 2)^2$

• C. $(x + 2)(x - 2)$

• $x^2 - 4$

• $x^2 + 4x + 4$

• $x^2 - 4x + 4$

Complete los huecos en blanco para que las siguientes igualdades sean correctas:

1. a) $(x + 4)^2 = x^2 + \dots x + 16$

1. b) $(a - \dots)^2 = a^2 - 6a + 9$

1. c) $(y + 5)(y - 5) = y^2 - \dots$

Lucía quiere diseñar una alfombra cuadrada para su habitación. El lado de la alfombra mide $(x + 4)$ pies.

1. a) Escriba la expresión del área de la alfombra como el cuadrado de un binomio.
2. b) Desarrolle el binomio para obtener el polinomio que representa el área.

Un error muy común al empezar con las identidades notables es pensar que el cuadrado de una suma es simplemente la suma de los cuadrados. Por ejemplo:

¿Es cierto que $(x + 3)^2 = x^2 + 3^2$?

Para comprobarlo, calcule el valor numérico de ambas expresiones para $x = 2$ y explique si los resultados son iguales o diferentes.

Desarrolle las siguientes expresiones utilizando las identidades notables y simplifique los términos semejantes siempre que sea posible:

1. a) $\left( \frac{3}{2}x^2 - \frac{4}{5} \right)^2$

1. b) $(2x^3 + 5y)^2 - (2x^3 - 5y)^2$

1. c) $(x^2 - 3)(x^2 + 3) - (x^2 - 1)^2$

Encuentre el término que falta en cada expresión para que el trinomio sea el resultado de un cuadrado de una suma o de una diferencia (cuadrado perfecto). Después, escriba la potencia correspondiente:

1. a) $16x^4 + \dots + 9y^2$

1. b) $\frac{1}{4}x^2 - 5x + \dots$

1. c) $49a^6 - 28a^3b + \dots$

Simplifique las siguientes fracciones algebraicas utilizando las identidades notables para factorizar el numerador y el denominador:

1. a) $\frac{x^2 - 25}{x^2 + 10x + 25}$

1. b) $\frac{9x^2 - 12x + 4}{9x^2 - 4}$

Un diseñador de aplicaciones está creando un icono cuadrado para una red social. El diseño original tiene un lado de $x$ píxeles. El cliente pide dos cambios: primero, aumentar el lado en $4$ píxeles para añadir un borde decorativo; segundo, crear una versión reducida donde cada lado mide $4$ píxeles menos que el original.

Halle el polinomio que representa la diferencia de áreas entre el icono ampliado y el icono reducido en función de $x$.

Demuestre algebraicamente que la diferencia entre los cuadrados de dos números enteros consecutivos es siempre igual a la suma de dichos números.

(Pista: llame $x$ al primer número y $x+1$ al siguiente).

Halle el área de la zona sombreada en la siguiente figura. Exprese el resultado como un polinomio simplificado en función de $x$. El lado del cuadrado exterior mide $2x+3$ y el lado del cuadrado interior blanco mide $2x-3$.

Calcule el valor numérico de la expresión $E = (3x + 4y)^2 - (3x - 4y)^2$ para los valores $x = \frac{1}{3}$ e $y = 5$.

Consejo: Simplifique la expresión algebraica utilizando las identidades notables antes de sustituir los valores.

Un fabricante de placas solares ha descubierto que la eficiencia de sus paneles mejora si se utiliza una configuración de celdas que sigue la identidad del producto de una suma por una diferencia.

Si el área total de una placa viene dada por el polinomio $A(x) = 16x^4 - 81y^2$, ¿cuáles son las expresiones algebraicas que representan el largo y el ancho de dicha placa?