Ejercicios: Propiedades de las potencias

En un videoclub antiguo, las películas se organizaban en estantes. Si tenemos una expresión en forma de potencia como $7^{3}$, indique cuál es el número que actúa como base y cuál como exponente. Explique brevemente qué operación tendría que hacer para calcular su valor (sin necesidad de dar el resultado final).

Una conocida red social muestra las fotos del perfil de los usuarios en una cuadrícula cuadrada. Si el muro de fotos de Lucía tiene $5$ fotos de ancho y $5$ fotos de alto, ¿cuántas fotos tiene en total? Exprese el resultado primero como una multiplicación de dos factores iguales, luego en forma de potencia y finalmente calcule el valor total.

Calcule mentalmente las siguientes potencias especiales. Recuerde las reglas para los exponentes $0$ y $1$:

1. a) $15^{1} =$
2. b) $8^{0} =$
3. c) $1^{25} =$
4. d) $10^{1} =$
5. e) $2024^{0} =$

Aplique la propiedad del producto de potencias de la misma base para escribir las siguientes expresiones como una sola potencia (no es necesario calcular el valor final):

1. a) $3^{2} \cdot 3^{4} =$
2. b) $5^{3} \cdot 5^{3} =$
3. c) $a^{2} \cdot a^{5} =$
4. d) $10^{2} \cdot 10 \cdot 10^{3} =$ (Pista: cuando un número no tiene exponente, es como si tuviera un $1$).

Utilice la propiedad del cociente de potencias de la misma base para simplificar estas operaciones en una única potencia:

1. a) $7^{5} : 7^{2} =$
2. b) $10^{8} : 10^{6} =$
3. c) $\frac{4^{9}}{4^{7}} =$
4. d) $m^{10} : m^{9} =$

Escriba como una sola potencia utilizando la propiedad de potencia de una potencia:

1. a) $(2^{3})^{2} =$
2. b) $(5^{4})^{3} =$
3. c) $(10^{2})^{5} =$
4. d) $(x^{3})^{4} =$

En un videojuego, cada vez que pasa de nivel, sus puntos se multiplican por $10$. Si ha pasado $4$ niveles y la puntuación se escribe como $10^{4}$, ¿cuántos puntos tiene en total? Escriba el número con todas sus cifras y explique cuántos ceros ha añadido.

Calcule las siguientes raíces cuadradas exactas pensando en qué número multiplicado por sí mismo da el radicando. Fíjese en el ejemplo: $\sqrt{25} = 5$ porque $5^{2} = 25$.

1. a) $\sqrt{16} =$
2. b) $\sqrt{49} =$
3. c) $\sqrt{81} =$
4. d) $\sqrt{100} =$

Utilice las propiedades de las potencias para simplificar la siguiente expresión y dejarla como una sola potencia de base $2$:

Recuerde indicar los pasos seguidos: primero opere dentro del paréntesis, luego aplique la potencia de una potencia y, finalmente, resuelva el cociente.

En el mundo de la informática, las capacidades de almacenamiento suelen expresarse en potencias de base $10$. Un disco duro externo tiene una capacidad de $10^3$ gigabytes ($GB$). Si cada gigabyte contiene $10^3$ megabytes ($MB$), y cada megabyte tiene $10^6$ bytes:

1. a) Exprese la capacidad total del disco duro en bytes utilizando una sola potencia de $10$.
2. b) ¿Cuántas fotos de $10^6$ bytes cada una cabrían en el disco duro? Exprese el resultado como una potencia.

Una empresa de mensajería organiza sus paquetes en grandes contenedores cúbicos. Si en un contenedor caben $6$ cajas a lo largo, $6$ cajas a lo ancho y $6$ cajas a lo alto:

1. a) Exprese el número total de cajas que hay en un contenedor en forma de potencia y calcule el resultado.
2. b) Si la empresa tiene almacenados $6^2$ contenedores iguales, ¿cuántas cajas tienen en total? Exprese el resultado como una sola potencia.

Calcule las siguientes expresiones de dos formas distintas para comprobar que se cumplen las propiedades de las potencias:

• Forma A: Calculando primero el interior de los paréntesis y luego la potencia.

• Forma B: Aplicando la propiedad de la potencia de un producto o un cociente.

1. a) $(2 \cdot 5)^3$
2. b) $(12 : 3)^2$
3. c) $(2^2 \cdot 3)^2$

Un video de TikTok se vuelve viral. Al principio lo comparten $3$ personas. Cada una de esas personas lo comparte con otras $3$ nuevas, y así sucesivamente en diferentes niveles de difusión.

1. a) ¿Cuántas personas habrán compartido el video en el quinto nivel? Expréselo como potencia y calcule el valor.
2. b) Si en el nivel $n$ lo han compartido $243$ personas, ¿cuál es el valor de $n$?
3. c) Exprese el producto del tercer nivel por el cuarto nivel como una sola potencia.

El patio de una escuela secundaria tiene forma cuadrada y una superficie total de $225 m^2$. El equipo de mantenimiento quiere rodearlo con una cinta de señalización para una actividad deportiva, pero dejando un espacio libre de $2$ pies para una puerta en uno de los lados.

1. a) ¿Cuánto mide el lado del patio? (Use la raíz cuadrada).
2. b) ¿Cuántos pies de cinta necesitan comprar?

Resuelva las siguientes operaciones combinadas aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones y las propiedades de las potencias cuando sea posible:

1. a) $3^3 - \sqrt{49} + 2^2 \cdot (5 - 3)^2$
2. b) $(\sqrt{100} - 2^3)^2 + 4^0 \cdot 5$
3. c) $2^5 : 2^3 + \sqrt{81} \cdot 3 - 1^{15}$

Averigüe el valor de la letra $x$ en cada una de las siguientes igualdades aplicando las propiedades de las potencias:

1. a) $5^x \cdot 5^4 = 5^9$
2. b) $(3^2)^x = 3^6$
3. c) $10^7 : 10^x = 10^3$
4. d) $x^3 = 64$
5. e) $x^0 = 1$ (Indique qué valores no podría tomar $x$ en este caso).

Aplique las propiedades de las potencias y realice las transformaciones de base necesarias para expresar el resultado como una única potencia:

$\frac{2^5 \cdot (4^2)^3 \cdot 8}{2^8 \cdot 16}$

Recuerde que para operar con las propiedades de la misma base, primero debe descomponer los números $4$, $8$ y $16$ en potencias de base $2$.

En el mundo de la informática, las unidades de medida crecen en potencias de base $2$. Sabemos que $1 \text{ Kilobyte (KB)} = 2^{10} \text{ bytes}$. Si un servidor de una escuela tiene una capacidad de almacenamiento de $64 \text{ KB}$ y queremos ampliarlo instalando $4$ tarjetas de memoria adicionales, cada una con una capacidad de $16 \text{ KB}$:

1. a) Exprese la capacidad total final del servidor en forma de una única potencia de base $2$.
2. b) ¿Cuántas veces es mayor la capacidad final respecto a la inicial? (Exprese el resultado como potencia).

Calcule el valor de la siguiente expresión combinada respetando la jerarquía de las operaciones y aplicando las propiedades de las potencias siempre que sea posible:

$10^2 : [5^2 \cdot (2^5 : 2^3)] + \sqrt{144} \cdot (3^2 - 2^3)$

Un astrónomo observa dos galaxias. La galaxia A está a una distancia de $3^8 \text{ km}$ de la Tierra y la galaxia B está a una distancia de $27^3 \text{ km}$.

1. a) ¿Cuál de las dos galaxias se encuentra más alejada de nosotros? Justifique su respuesta utilizando potencias de la misma base.
2. b) Si la luz recorre aproximadamente $3 \cdot 10^5 \text{ km}$ en un segundo, ¿cuántos segundos tardaría en llegar la luz de la galaxia A a la Tierra? (Deje el resultado expresado como operación de potencias).

Halla el valor del exponente desconocido $x$ en las siguientes igualdades aplicando las propiedades de las potencias:

1. a) $3^x \cdot 9^2 = 3^7$
2. b) $(5^3)^x : 125 = 5^9$
3. c) $2^4 \cdot 4^x \cdot 8 = 2^{11}$

Un video de TikTok se vuelve viral. Inicialmente lo comparten $2$ personas. Cada hora que pasa, el número de personas que lo han compartido se duplica.

1. a) ¿Cuántas personas habrán compartido el video al cabo de $10$ horas? Exprese el resultado como potencia y como número natural.
2. b) Si queremos representar el número total de personas en notación científica tras $20$ horas, ¿cuál sería el valor aproximado si $2^{10} \approx 10^3$?

Un patio cuadrado está pavimentado con baldosas también cuadradas. El número total de baldosas es el resultado de la expresión:

$N = \sqrt{4^2 + 3^2} \cdot \sqrt{25 \cdot 4 \cdot 10^2}$

1. a) Calcule el valor de $N$ (número total de baldosas).
2. b) ¿Cuántas baldosas hay en cada lado del patio?
3. c) Si cada baldosa mide $40 \text{ cm}$ de lado, ¿cuál es la superficie total del patio en pies cuadrados?

Utilice la descomposición en factores primos para calcular la raíz cuadrada exacta de los siguientes números de forma simplificada:

1. a) $\sqrt{2^4 \cdot 3^6 \cdot 5^2}$
2. b) $\sqrt{1296}$ (Pista: factorice primero el número).
3. c) $\sqrt{\frac{10^4 \cdot 2^2}{25}}$