Ejercicios: Múltiplos y divisores de un número

Un saltamontes está entrenando para una competición. En cada salto avanza exactamente $6$ pulgadas.

Escribe la distancia total que ha recorrido tras dar $1, 2, 3, 4, 5$ y $10$ saltos. ¿Cómo se llaman estos números respecto al $6$?

Hemos comprado $18$ latas de refresco para una fiesta y queremos colocarlas sobre la mesa formando rectángulos completos (sin que sobre ninguna lata). Por ejemplo, podemos poner $3$ filas de $6$ latas.

Encuentra todas las demás formas posibles de organizar las latas y escribe la lista completa de los divisores de $18$.

Sabiendo que la igualdad $15 \cdot 4 = 60$ es cierta, completa las siguientes frases usando correctamente las palabras múltiplo o divisor:

1. a) El número $60$ es ____ de $15$.
2. b) El número $4$ es ____ de $60$.
3. c) El número $60$ es ____ de $4$.
4. d) El número $15$ es ____ de $60$.

Una línea de autobús pasa por el centro comercial cada $12$ minutos. Si un autobús acaba de salir ahora mismo (minuto $0$), escribe todos los minutos en los que volverá a pasar el autobús a lo largo de las próximas dos horas.

(Pista: Debes buscar los múltiplos de $12$ hasta llegar al $120$).

Identifique cuáles de los siguientes números son divisores de $24$ realizando las divisiones necesarias:

$$2, 5, 6, 9, 12, 14$$

Recuerde: Un número es divisor de otro si al dividirlos el residuo es igual a $0$.

En una tienda de cómics, venden las fundas protectoras en paquetes de $10$ unidades.

1. a) ¿Puede comprar exactamente $30$ fundas? ¿Y $45$? Explique por qué.
2. b) Escriba los siete primeros múltiplos del número $10$.

Diga si las siguientes afirmaciones son Verdaderas o Falsas y justifique su respuesta con un ejemplo o una división:

1. a) El número $1$ es divisor de todos los números naturales.
2. b) Cualquier número es múltiplo de sí mismo.
3. c) El número $8$ es divisor de $4$.
4. d) Un número puede tener infinitos múltiplos.

Sofía quiere repartir $28$ calcomanías entre sus $4$ amigos a partes iguales.

1. a) ¿Cuántas calcomanías recibirá cada uno? ¿Sobra alguna?
2. b) ¿Es $28$ divisible entre $4$?
3. c) ¿Es $4$ un divisor de $28$?

Un diseñador gráfico está organizando una galería de $30$ iconos cuadrados idénticos para una página web. Quiere disponerlos formando un rectángulo completo (sin que sobren iconos).

1. a) Encuentra todas las formas posibles de organizar los iconos (por ejemplo: $1$ fila de $30$).
2. b) ¿Qué relación matemática tienen las dimensiones de esos rectángulos con el número $30$?
3. c) Si el diseño solo permite que el lado más corto del rectángulo tenga al menos $3$ iconos, ¿cuántas opciones tiene ahora?

Una conocida streamer de videojuegos sube un clip a sus redes sociales cada $8$ horas exactamente. Si hoy ha subido el primer clip a las $08:00$ de la mañana:

1. a) Escribe la serie de las horas del día (en formato 24h) en las que publicará sus siguientes $5$ clips.
2. b) ¿Es el número de horas transcurridas desde el primer clip un múltiplo de $8$? Justifica tu respuesta.
3. c) ¿Cuántos días completos habrán pasado cuando haya publicado un total de $10$ clips (incluyendo el de hoy)?

Observa el siguiente esquema de "salto de números" y completa las frases utilizando las palabras múltiplo, divisor o divisible:

1. a) $60$ es .................... de $12$.
2. b) $12$ es .................... de $180$.
3. c) $180$ es .................... por $60$.
4. d) Si añadimos el número $5$ al esquema, ¿qué relación tendría con el $60$?

En un refugio de animales han recibido una donación de $48$ latas de comida para gatos. Quieren almacenarlas en cajas pequeñas, de forma que todas las cajas tengan el mismo número de latas y no sobre ninguna.

1. a) Escribe todos los divisores de $48$.
2. b) Si el encargado quiere que en cada caja haya más de $5$ latas pero menos de $15$, ¿qué opciones de empaquetado tiene? Indica el número de latas por caja y cuántas cajas necesitaría en cada caso.

Un grupo de arqueólogos ha encontrado una inscripción con un código numérico secreto. El jefe de la expedición te da estas pistas para descifrarlo:

• Es un número comprendido entre $125$ y $160$.

• Es un múltiplo de $15$.

• No es un número par.

¿Cuál es el código secreto? Razona tu respuesta descartando las opciones que no cumplen las tres condiciones.

En clase de Arte estamos creando patrones con teselas cuadradas. Para hacer un "supercuadrado", necesitamos que el número total de teselas sea un cuadrado perfecto.

1. a) Si tenemos un bote con $80$ teselas, ¿cuántas teselas sobran si queremos formar el cuadrado más grande posible?
2. b) ¿Cuántas teselas nos faltarían, como mínimo, para poder formar el siguiente cuadrado de tamaño superior?

Dos luces led de un escenario parpadean con ritmos distintos. La luz azul se enciende cada $6$ segundos y la luz naranja cada $9$ segundos.

1. a) Escribe los $10$ primeros múltiplos de cada número (empezando por el $0$).
2. b) ¿En qué segundos coincidirán ambas luces encendidas durante el primer minuto (de $0$ a $60$ segundos)?
3. c) ¿Cuál es el primer segundo (después del $0$) en el que coinciden? ¿Cómo llamamos a ese número en matemáticas?

Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, poniendo un ejemplo o un contraejemplo en cada caso:

1. a) Si un número es divisor de $10$, también es divisor de todos los múltiplos de $10$ (como $20, 30, 40...$).
2. b) El conjunto de los divisores de un número es infinito.
3. c) Si un número $a$ es múltiplo de $b$, entonces $b$ es divisor de $a$.
4. d) Cualquier número natural es, al menos, divisible por sí mismo y por la unidad.

Un experto en ciberseguridad está intentando descifrar un código PIN de cuatro cifras oculto en un servidor. El sistema le da las siguientes pistas sobre el número:

• Es un número capicúa (se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda).

• Es múltiplo de $9$ y también es múltiplo de $5$.

• La suma de sus cuatro cifras es un divisor de $36$.

• El número es mayor que $5\,000$.

¿Cuál es el código PIN que busca el experto? Razona si existe más de una solución posible.

Una empresa de eventos quiere organizar un concierto en una sala rectangular. Han comprado un total de $150$ sillas. El organizador quiere disponerlas de forma que todas las filas tengan el mismo número de sillas, pero con las siguientes restricciones:

• Debe haber más de $5$ filas.

• En cada fila debe haber más de $10$ sillas.

• El número de sillas por fila debe ser un divisor de $450$ pero no puede ser múltiplo de $4$.

Halla todas las formas posibles de organizar las sillas (filas y sillas por fila) que cumplan estas condiciones.

En una Smart City, tres sistemas de iluminación inteligente funcionan con ciclos diferentes:

• Las luces del parque parpadean cada $18$ segundos.

• Las luces de la fuente cambian cada $24$ segundos.

• El panel informativo se actualiza cada $30$ segundos.

Si a las $20:00$ h han coincidido los tres sistemas por primera vez, ¿cuántas veces volverán a coincidir antes de las $20:15$ h? Utiliza la relación entre los múltiplos de estos números para resolverlo.

Considera un número natural $n$ que cumple las siguientes dos propiedades:

1. $n$ es un múltiplo común de $12$ y $15$.

2. $n$ es un divisor de $360$.

Escribe todos los valores posibles de $n$. Para cada valor hallado, indica cuál es el divisor más pequeño (distinto de $1$) y el múltiplo de $n$ más pequeño que sea mayor que $1\,000$.

Una famosa influencer ha recibido un lote de productos de cosmética para sortear entre sus seguidores. Tiene $72$ labiales, $108$ esmaltes de uñas y $180$ mascarillas faciales.

Quiere preparar el mayor número posible de cajas idénticas (con el mismo contenido cada una) sin que sobre ningún producto.

• ¿Cuántas cajas puede preparar?

• ¿Qué cantidad de cada producto habrá en cada caja?

• Si decide que cada caja no puede tener más de $15$ objetos en total, ¿cuántas cajas debería preparar ahora para seguir cumpliendo que todas sean iguales y no sobre nada?

Averigua el valor de las cifras desconocidas $A$ y $B$ en el número $5A2B$ sabiendo que:

• El número es divisible por $2$ y por $3$ simultáneamente.

• El número es un múltiplo de $11$.

• La cifra $A$ es un divisor de $16$ y la cifra $B$ es un múltiplo de $4$ (distinto de cero).

Razona paso a paso cómo descartas las opciones hasta encontrar el número correcto.

Dos atletas entrenan en una pista circular. El primero tarda $75$ segundos en dar una vuelta completa y el segundo tarda $90$ segundos.

Si empiezan a correr al mismo tiempo y en el mismo sentido:

1. a) ¿Cuántos minutos tardarán en volver a coincidir en la línea de salida?
2. b) En ese momento, ¿cuántas vueltas habrá dado cada uno?
3. c) Si el entrenamiento dura una hora completa, ¿cuántas veces coincidirán en la salida incluyendo el inicio y el final?

Estamos buscando un número muy especial que llamaremos "$X$". Sabemos lo siguiente:

• $X$ tiene exactamente $4$ divisores.

• $X$ es un número de dos cifras.

• Si sumamos todos sus divisores, el resultado es $32$.

Encuentra el valor de $X$ explicando el proceso. Pista: Piensa en qué tipo de números tienen exactamente 4 divisores (por ejemplo, el producto de dos números primos diferentes).