Ejercicios: Mínimo común múltiplo

Para empezar a practicar, vamos a utilizar el método de escribir la lista de múltiplos. Escriba los $10$ primeros múltiplos de los números $4$ y $5$ (sin contar el cero). Después, identifique cuál es el mínimo común múltiplo ($m.c.m.$) de ambos.

Calcula de forma rápida el $m.c.m. (3, 9)$. Fíjate bien en la relación que hay entre los dos números antes de empezar a calcular. ¿Es uno múltiplo del otro? Razona si en este caso necesitas hacer muchas operaciones.

Un gamer tiene configuradas las luces LED de su teclado de la siguiente manera: las luces rojas parpadean cada $2$ segundos y las luces blancas parpadean cada $3$ segundos. Si acaban de coincidir ahora mismo, ¿dentro de cuántos segundos volverán a brillar las dos a la vez por primera vez?

En la estantería de una tienda de cómics, quieren apilar tomos de "Manga" que miden $12$ mm de grosor y tomos de "Novela Gráfica" que miden $18$ mm de grosor. ¿Cuál es la altura mínima a la que deben llegar ambas pilas para que midan exactamente lo mismo?

Tres campanas de una iglesia suenan con diferentes intervalos: la primera suena cada $6$ minutos, la segunda cada $9$ minutos y la tercera cada $12$ minutos. Si han sonado las tres juntas a las $10:00$ de la mañana, ¿a qué hora volverán a coincidir de nuevo?

Dos atletas entrenan en una pista circular. Lucía tarda $60$ segundos en dar una vuelta completa y Adrián tarda $75$ segundos. Si salen juntos de la línea de meta, ¿cuántos segundos tardarán en volver a cruzar la meta al mismo tiempo? ¿Cuántas vueltas habrá dado cada uno en ese momento?

Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números utilizando la descomposición en factores primos:

1. a) $m.c.m. (10, 15)$
2. b) $m.c.m. (8, 12)$
3. c) $m.c.m. (20, 30)$

Sofía está organizando una fiesta y quiere comprar perros calientes. Las salchichas vienen en paquetes de $6$ unidades y los panes en bolsas de $8$ unidades. ¿Cuál es el número mínimo de perros calientes que puede preparar para que no le sobre ni una salchicha ni un pan? ¿Cuántos paquetes de cada producto tendrá que comprar?

Para desbloquear un nivel especial en un videojuego matemático, necesita encontrar el código de acceso. El código es el mínimo común múltiplo de los siguientes tres números: $36$, $48$ y $60$.

Realice la descomposición en factores primos de cada número y calcule el código final.

Dos luces de un escenario de conciertos parpadean a ritmos diferentes. La luz naranja se enciende cada $12$ segundos y la luz blanca cada $15$ segundos. Si ambas luces se acaban de encender al mismo tiempo al empezar una canción:

1. a) ¿Cuántos segundos tardarán en volver a coincidir encendidas por primera vez?
2. b) ¿Cuántas veces habrán coincidido durante los primeros $3$ minutos de la canción?

Un "influencer" está planificando sus publicaciones. Quiere subir un "Reel" cada $8$ días y una foto a su perfil cada $10$ días. Hoy, lunes, ha publicado ambas cosas.

¿Dentro de cuántos días volverá a coincidir la publicación de un "Reel" y una foto por primera vez? Si hoy es lunes, ¿qué día de la semana será cuando vuelvan a coincidir?

Una tienda de deportes recibe un cargamento de balones de fútbol en cajas de $15$ unidades y balones de básquetbol en cajas de $20$ unidades. Si la tienda quiere tener el mismo número de balones de cada tipo para una promoción:

1. a) ¿Cuál es el número mínimo de balones de cada clase que debe tener?
2. b) ¿Cuántas cajas de balones de fútbol y cuántas de básquetbol necesita comprar para alcanzar esa cantidad?

En una pista circular de atletismo, Lucía completa una vuelta en $75$ segundos, mientras que Marcos tarda $90$ segundos. Si ambos salen juntos de la línea de meta:

1. a) ¿Al cabo de cuánto tiempo volverán a pasar por la meta al mismo tiempo? Exprese el resultado en minutos.
2. b) ¿Cuántas vueltas habrá dado cada uno en ese momento?

Queremos cubrir el suelo de un estudio de grabación que tiene forma de cuadrado perfecto con paneles insonorizantes rectangulares de $18$ pulgadas de ancho por $24$ pulgadas de largo.

¿Cuál debe ser la medida mínima del lado de la habitación para que podamos colocar los paneles sin tener que cortar ninguno? ¿Cuántos paneles necesitaremos en total para cubrir todo el suelo?

Tres autobuses escolares parten de la misma estación central a las $08:00$ de la mañana. El autobús de la Ruta A pasa por la estación cada $45$ minutos, el de la Ruta B cada $60$ minutos y el de la Ruta C cada $90$ minutos.

¿A qué hora volverán a coincidir los tres autobuses en la estación por primera vez?

Encuentre un número comprendido entre $300$ y $400$ que sea, simultáneamente, múltiplo de $12$, $15$ y $18$. Explique los pasos que ha seguido para hallarlo utilizando el concepto de mínimo común múltiplo.

Tres dispositivos inteligentes de una red doméstica realizan copias de seguridad en la nube con diferentes frecuencias. El primero lo hace cada $45$ minutos, el segundo cada $72$ minutos y el tercero cada $2$ horas. Si los tres han coincidido realizando la copia a las $10:00$ de la mañana:

1. a) ¿Cuántas horas deben pasar como mínimo para que vuelvan a coincidir de nuevo?
2. b) ¿A qué hora exacta de la tarde o noche ocurrirá esa nueva coincidencia?
3. c) ¿Cuántas copias habrá realizado cada dispositivo en ese intervalo de tiempo?

En un circuito de karts, dos pilotos, Lucía y Marcos, pasan por la línea de meta al mismo tiempo. Lucía tarda $105$ segundos en completar una vuelta, mientras que Marcos tarda $90$ segundos.

1. a) ¿Cuánto tiempo pasará hasta que vuelvan a cruzar la meta juntos por primera vez? Exprese el resultado en minutos y segundos.
2. b) En ese momento, ¿cuántas vueltas habrá dado cada piloto?
3. c) ¿Cuántas vueltas de ventaja le habrá sacado el piloto más rápido al más lento?

Un coleccionista de figuras de acción tiene menos de $1.000$ piezas. Sabe que si las organiza en cajas de $18$, no sobra ninguna. Si las organiza en cajas de $20$, tampoco sobra ninguna, y si las agrupa de $24$ en $24$, el recuento también es exacto.

1. a) ¿Cuál es la cantidad mínima de figuras que puede tener?
2. b) Si sabe que el número total de figuras está comprendido entre $700$ y $800$, ¿cuántas figuras tiene exactamente?

Una empresa de logística tiene tres camiones que salen de la central hacia diferentes rutas. El primero sale cada $12$ días, el segundo cada $15$ días y el tercero cada $18$ días. El día $1$ de enero coincidieron los tres en la base.

1. a) ¿Volverán a coincidir los tres camiones en la base antes de que termine el mes de junio? Razone la respuesta calculando el día exacto de la coincidencia.
2. b) ¿Cuántas veces habrá salido cada camión de viaje hasta ese día?

Queremos construir un cubo sólido utilizando bloques de juguete que miden $15$ pulgadas de largo, $10$ pulgadas de ancho y $6$ pulgadas de alto.

1. a) ¿Cuál debe ser la medida de la arista del cubo más pequeño que podemos formar sin cortar ningún bloque?
2. b) ¿Cuántos bloques de juguete necesitaremos en total para construir dicho cubo?

Tres músicos de una banda de jazz están ensayando un patrón rítmico. El baterista golpea el platillo cada $8$ tiempos, el bajista toca una nota grave cada $12$ tiempos y el pianista hace un acorde cada $15$ tiempos.

1. a) Si empiezan el compás a la vez, ¿en qué número de tiempo volverán a sonar los tres instrumentos al mismo tiempo?
2. b) Si el pianista decidiera tocar cada $18$ tiempos en lugar de $15$, ¿tardarían más o menos en coincidir? Justifique la respuesta con cálculos.

El faro de una isla emite una luz blanca cada $12$ segundos, y un faro cercano emite una luz roja cada $16$ segundos. Un tercer faro emite una luz verde cada $20$ segundos. A las $22:00$ horas se han visto las tres luces coincidir.

1. a) ¿Cada cuántos minutos y segundos coinciden las tres luces?
2. b) ¿Cuántas veces coincidirán las tres luces en total desde las $22:00$ hasta las $23:00$ horas? (Tenga en cuenta que la primera coincidencia es a las $22:00$).

Encuentre todos los números naturales menores que $150$ que sean múltiplos comunes de $4, 6$ y $9$ a la vez. Para ello:

1. a) Calcule primero el $m.c.m.(4, 6, 9)$.
2. b) Escriba la serie de múltiplos de ese valor hasta llegar al límite indicado.
3. c) ¿Cuál es el mayor múltiplo de estos tres números que es menor que $500$?