Ejercicios: Máximo común divisor

Calcula todos los divisores de los números $12$ y $18$. Después, indica cuáles son los divisores comunes y señala cuál de ellos es el Máximo Común Divisor (MCD).

Sofía tiene $20$ calcomanías de estrellas y $30$ calcomanías de planetas. Quiere hacer sobres iguales con el mayor número de calcomanías posible de cada tipo, sin que sobre ninguna. ¿Cuántas calcomanías de cada clase debe poner en cada sobre? (Pista: Busca el divisor común más grande de $20$ y $30$).

Observa las descomposiciones factoriales de estos dos números y halla su $MCD$:

• $A = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$

• $B = 2 \cdot 3^{2}$

Recuerda la regla pedagógica: "Para el MCD, tomamos los factores comunes elevados al menor exponente".

Un jardinero quiere cortar dos mangueras, una de $15$ pies y otra de $25$ pies, en trozos que midan lo mismo y que sean lo más largos posible, de forma que no se desperdicie nada de manguera. ¿Qué longitud tendrá cada trozo?

Calcula mentalmente el $MCD$ de las siguientes parejas de números. Son números pequeños donde puedes identificar el divisor común mayor de un vistazo:

1. a) $MCD(4, 8)$
2. b) $MCD(5, 10)$
3. c) $MCD(7, 14)$
4. d) $MCD(10, 20)$

¿Qué tienen en común todos estos resultados?

En el taller de tecnología, los alumnos tienen dos listones de madera de $36$ pulgadas y $48$ pulgadas de longitud. Necesitan cortarlos en trozos de la misma longitud, siendo esta la máxima posible.

1. a) ¿Cuál será la longitud de cada trozo?
2. b) ¿Cuántos trozos obtendrán en total de los dos listones?

Decimos que dos números son primos entre sí cuando su único divisor común es el $1$. Comprueba si los números $8$ y $15$ son primos entre sí hallando su $MCD$.

En una biblioteca quieren organizar $45$ libros de aventuras y $60$ libros de ciencia ficción en estantes, de modo que en cada estante haya el mismo número de libros y que este sea el máximo posible.

1. a) ¿Cuántos libros pondrán en cada estante?
2. b) ¿Cuántos estantes usarán para los libros de aventuras y cuántos para los de ciencia ficción?

Calcula el Máximo Común Divisor ($M.C.D.$) de los siguientes grupos de números utilizando el método de descomposición en factores primos:

1. a) $48$ y $72$
2. b) $30, 45$ y $60$
3. c) $120$ y $150$

Un electricista tiene dos rollos de cable sobrantes de una obra: uno de color azul que mide $120$ pies y otro de color negro de $96$ pies. Quiere cortarlos en trozos de la misma longitud, de manera que sean lo más largos posible y no sobre nada de cable en ningún rollo.

1. a) ¿Cuánto debe medir cada trozo?
2. b) ¿Cuántos trozos obtendrá en total entre los dos colores?

En la escuela secundaria se ha organizado una jornada de convivencia. Hay $54$ alumnos de 6.º grado y $42$ alumnos de 7.º grado. Se quieren formar equipos mixtos (todos del mismo grupo o mezclados, según decida el profesor) pero con la condición de que todos los equipos de la escuela tengan exactamente el mismo número de personas y que este número sea el máximo posible sin que sobre nadie.

1. a) ¿Cuántos alumnos habrá en cada equipo?
2. b) ¿Cuántos equipos de 6.º grado y cuántos de 7.º grado se formarán?

Observa las siguientes descomposiciones factoriales de tres números y, sin realizar las multiplicaciones, indica cuál es su $M.C.D.$:

$A = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$

$B = 2^2 \cdot 3^3$

$C = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$

Una tienda de manualidades quiere cortar una plancha de cartón pluma de $150$ pulgadas de largo por $90$ pulgadas de ancho en cuadrados iguales, de forma que sean lo más grandes posible y no sobre ningún trozo.

1. a) ¿Qué dimensiones tendrá el lado de cada cuadrado?
2. b) Si cada cuadrado se vende a $\$2,50$, ¿cuánto dinero obtendrán al vender todos los cuadrados que salen de la plancha?

Se dice que dos números son primos entre sí si su único divisor común es el $1$. Comprueba si las siguientes parejas de números son primos entre sí calculando su $M.C.D.$:

1. a) $14$ y $15$
2. b) $22$ y $33$
3. c) $21$ y $25$

Para un banco de alimentos, un supermercado dona $36$ latas de legumbres, $48$ cajas de leche y $60$ paquetes de arroz. Quieren preparar el mayor número posible de bolsas iguales para repartir, de manera que en cada bolsa haya el mismo número de productos de cada tipo.

1. a) ¿Cuántas bolsas podrán preparar como máximo?
2. b) ¿Qué contendrá cada bolsa?

Inventa dos números naturales distintos, $a$ y $b$, de manera que se cumpla la siguiente condición:

$M.C.D.(a, b) = 12$

Razona tu respuesta mostrando la descomposición factorial de los números elegidos.

Un banco de alimentos ha recibido tres donaciones de productos básicos: $540$ galones de leche, $420$ libras de arroz y $360$ paquetes de pasta. Quieren organizar lotes idénticos para repartirlos entre el mayor número posible de familias, de modo que en cada lote haya la misma cantidad de cada producto y no sobre nada.

1. a) ¿A cuántas familias podrán ayudar como máximo?
2. b) ¿Qué cantidad de cada producto recibirá cada una de estas familias?

Una artista urbana quiere diseñar un mural en una pared rectangular que mide $210$ pulgadas de alto por $165$ pulgadas de ancho. Para su diseño, quiere dividir toda la pared en cuadrados iguales, de forma que estos sean lo más grandes posible y no tenga que cortar ninguna pieza.

1. a) ¿Cuánto debe medir el lado de cada cuadrado para cubrir toda la pared?
2. b) ¿Cuántos cuadrados tendrá el mural en total?

En un taller de tecnología, los alumnos tienen tres listones de madera de $120$ pulgadas, $144$ pulgadas y $180$ pulgadas de longitud. El profesor les pide que los corten en trozos iguales, sin que sobre nada de madera, y de la mayor longitud posible para hacer estructuras de puentes.

1. a) ¿Qué longitud debe tener cada trozo?
2. b) ¿Cuántos trozos obtendrán en total sumando los tres listones?

Estamos buscando el número más grande posible que, al dividir a los números $159$ y $195$, deje en ambos casos un residuo de $3$ unidades. Razona los pasos que sigues para encontrarlo utilizando el concepto de Máximo Común Divisor.

Un agricultor orgánico ha recogido $250$ manzanas rojas, $325$ manzanas verdes y $175$ manzanas amarillas. Quiere empaquetarlas en cajas iguales (con el mismo número de manzanas de un solo color por caja) para enviarlas a diferentes tiendas. Si quiere que las cajas contengan el máximo número posible de piezas:

1. a) ¿Cuántas manzanas habrá en cada caja?
2. b) ¿Cuántas cajas enviará de cada tipo de manzana?

En un laboratorio de química tienen tres recipientes con diferentes soluciones: uno con $135$ ml, otro con $180$ ml y un tercero con $225$ ml. Quieren repartir todo el líquido en frascos de ensayo idénticos, con la mayor capacidad posible, de manera que todos los frascos queden completamente llenos y no se mezclen las sustancias.

1. a) ¿Cuál será la capacidad máxima de cada frasco de ensayo?
2. b) ¿Cuántos frascos se llenarán con el recipiente de mayor volumen?

Sabemos que el Máximo Común Divisor de dos números es $12$ y que uno de esos números es el $48$. Si el otro número es mayor que $50$ pero menor que $70$:

1. a) Halla cuál es ese segundo número.
2. b) Explica por qué no podría ser el número $60$ utilizando la descomposición en factores primos.

Un jardinero quiere rodear un huerto rectangular de $90$ pies de largo y $126$ pies de ancho con postes para una cerca. El dueño del huerto le ha pedido que coloque un poste en cada esquina y que la distancia entre poste y poste sea siempre la misma y la mayor posible.

1. a) ¿Qué distancia debe dejar entre cada poste?
2. b) ¿Cuántos postes necesitará en total para rodear todo el perímetro del huerto?