Ejercicios: Criterios de divisibilidad

En una clase de educación física, el profesor quiere organizar a los estudiantes en parejas para un juego de relevos. De la siguiente lista de números de estudiantes, indique cuáles pueden agruparse de dos en dos sin que sobre nadie (es decir, cuáles son divisibles por $2$):

$14, 25, 38, 41, 50, 67, 72, 99$

Un bibliotecario tiene que colocar libros en estantes donde caben exactamente $3$ libros en cada espacio. Para saber rápidamente si puede completar los estantes sin que sobren libros, utiliza el criterio de divisibilidad del $3$.

Calcule la suma de las cifras de los siguientes números y diga cuáles son divisibles por $3$:

1. a) $123$
2. b) $401$
3. c) $516$
4. d) $802$

Sofía está ahorrando monedas de $5$ centavos y de $10$ centavos en su alcancía. Ella sabe que, si el total de centavos termina en $0$ o en $5$, puede canjearlos por monedas de mayor valor.

Sin hacer la división, indique cuáles de las siguientes cantidades de centavos son divisibles por $5$ y cuáles por $10$:

$125, 340, 505, 782, 990, 1.000$

Complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo SÍ o NO en cada casilla, aplicando los criterios de divisibilidad que ha aprendido:

Un número es divisible por $4$ si sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de $4$.

Observe los siguientes años y diga cuáles serían "años especiales" por ser divisibles entre $4$:

$1996, 2000, 2010, 2022, 2024, 2030$

Para que el número $4.51x$ sea divisible por $2$ y por $5$ a la vez, ¿qué valor debe tener la cifra $x$? Razone su respuesta basándose en que debe terminar en $0$.

Sustituya la letra $A$ por una cifra para que el número resultante sea múltiplo de $9$. Recuerde que la suma de sus cifras debe ser un múltiplo de $9$.

1. a) $2A5$
2. b) $71A$
3. c) $A08$

¿Cuál de estos números cumple todas estas condiciones a la vez?

1. Es un número de tres cifras.

2. Es divisible por $2$ (es par).

3. Es divisible por $5$ (termina en $0$ o $5$).

4. Es divisible por $3$ (la suma de sus cifras es múltiplo de $3$).

Números propuestos: $150, 225, 304, 410$

En un juego de escape room, la clave final es un número de tres cifras llamado $N$. Para encontrarlo, los estudiantes reciben las siguientes pistas basadas en criterios de divisibilidad:

• La cifra de las unidades es un $0$.

• El número es divisible por $3$, y la suma de sus cifras es $12$.

• La cifra de las centenas es el triple de la cifra de las decenas.

¿Cuál es el número de la combinación secreta?

Una tienda de artículos deportivos ha recibido un lote de $435$ pulseras reflectantes para corredores nocturnos. El encargado quiere empaquetarlas en bolsas iguales sin que sobre ninguna. Utilizando los criterios de divisibilidad, razone si puede hacer los paquetes de las siguientes cantidades:

1. a) De $2$ en $2$.
2. b) De $3$ en $3$.
3. c) De $5$ en $5$.
4. d) De $10$ en $10$.

Encuentre el valor de la cifra desaparecida, representada por la letra $A$, en cada uno de estos números para que se cumpla la condición indicada:

1. a) $24A$ es divisible por $4$ y por $3$ a la vez.
2. b) $51A$ es divisible por $11$.
3. c) $A72$ es divisible por $9$ pero no por $10$.

Un repostero ha horneado una bandeja de galletas. Sabe que tiene más de $70$ galletas pero menos de $85$. Si las reparte en cajas de $6$ unidades, no le sobra ninguna. Si las reparte en cajas de $9$, tampoco le sobra ninguna.

1. a) ¿Cuántas galletas ha horneado exactamente?
2. b) Justifique su respuesta utilizando los criterios de divisibilidad del $2$ y del $3$ para explicar por qué el número es divisible por $6$.

Al imprimir una factura, una mancha de tinta ha tapado una cifra de un precio, dejando el número como $\$12B5$. Si sabemos que el precio total es divisible por $25$ y también por $3$:

1. a) ¿Qué cifra representa la letra $B$?
2. b) ¿Es este número divisible por $15$? Razone la respuesta basándose en los criterios de divisibilidad.

Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifique su respuesta con un ejemplo o un contraejemplo:

1. a) Si un número es divisible por $10$, entonces obligatoriamente es divisible por $5$.
2. b) Si un número es divisible por $3$, entonces siempre es divisible por $9$.
3. c) Todos los números que terminan en $44$ son divisibles por $4$.
4. d) Un número divisible por $2$ y por $5$ siempre termina en $0$.

Un informático está creando un algoritmo para clasificar números. El programa debe identificar números de cuatro cifras que cumplan tres condiciones a la vez:

1. Ser divisible por $4$.

2. Ser divisible por $9$.

3. Ser divisible por $10$.

De la siguiente lista, ¿qué números seleccionará el algoritmo? Justifique su respuesta aplicando los criterios correspondientes:

• $1.800$

• $2.340$

• $3.060$

• $4.590$

Aplique el criterio de divisibilidad del $11$ para determinar cuáles de los siguientes números son múltiplos de $11$. Para aquellos que no lo sean, indique cuánto debería sumarles para que sí lo fueran:

1. a) $1.232$
2. b) $5.049$
3. c) $8.175$

Un hacker ha dejado una pista para descifrar la contraseña de un servidor. La contraseña es el número más pequeño de cuatro cifras, $2A3B$, que cumple simultáneamente estas tres condiciones:

• Es divisible por $2$ pero no por $4$.

• Es divisible por $9$.

• Es divisible por $5$.

¿Cuál es la contraseña del servidor? Razone su respuesta aplicando los criterios paso a paso.

En una convención de videojuegos, el número de asistentes es un valor comprendido entre $700$ y $800$. Si sabemos que este número es divisible por $3$, por $11$ y por $2$ a la vez, ¿cuántas personas asistieron exactamente a la convención? Explique cómo descartó las otras posibilidades.

Busque todos los valores posibles para las cifras $X$ e $Y$ de manera que el número de cinco cifras $4X12Y$ sea divisible por $4$ y por $9$ al mismo tiempo. Tenga en cuenta que puede haber más de una combinación ganadora.

Estamos diseñando un nuevo modelo de estante para una tienda de cómics. Queremos colocar un número de ejemplares tal que se puedan agrupar exactamente de $6$ en $6$, de $9$ en $9$ y de $10$ en $10$ sin que sobre ninguno. Si la capacidad máxima del estante es de $250$ cómics, ¿cuál es el número máximo de cómics que podemos colocar cumpliendo estas condiciones?

Un número capicúa de tres cifras es aquel que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda (por ejemplo, $525$). Halle un número capicúa de tres cifras que sea divisible por $11$ y que, al sumar sus cifras, el resultado sea un múltiplo de $9$. ¿Es la única solución posible?

Aplique el razonamiento lógico para responder a las siguientes preguntas sobre un número invisible $N$:

1. a) Si $N$ es divisible por $2$ y por $5$, ¿por qué número mayor que ellos es obligatoriamente divisible?
2. b) Si $N$ es divisible por $3$ y por $4$, ¿es siempre divisible por $12$? ¿Y si fuera divisible por $2$ y por $4$, sería siempre divisible por $8$? Dé ejemplos para justificar su respuesta.

En un almacén de logística, las cajas se identifican con un código de seguridad. El código de hoy es un número de cuatro cifras, $D57C$, que debe cumplir:

• Ser divisible por $6$.

• Al dividirlo por $5$, el residuo sea $0$.

Encuentre todos los códigos que cumplen estas condiciones y explique el proceso que siguió para encontrarlos.

Determine, sin realizar la división larga, si el número $N = 10^5 + 8$ es divisible por $2, 3, 4, 9$ y $11$. Justifique cada respuesta enunciando la propiedad o el criterio de divisibilidad correspondiente. (Pista: escriba primero el número con todas sus cifras).