Ejercicios: Aproximación y redondeo

En una tienda de videojuegos, el precio de un póster es de $\$7,82$. Si solo lleva billetes de un dólar y quiere saber, aproximadamente, cuántos dólares completos cuesta:

1. a) ¿Entre qué dos números enteros se encuentra el precio?
2. b) ¿A cuál de los dos números está más cerca? Realice el redondeo a la unidad.

Para realizar un experimento en clase de Ciencias, necesitamos medir exactamente $4,576$ gramos de sal. Complete la siguiente tabla aplicando los dos métodos de aproximación pedidos:

Aproximación a las centésimas	Resultado
Truncamiento
Redondeo

Un corredor de 100 metros lisos ha registrado un tiempo de $12,45$ segundos en el cronómetro. Si queremos expresar este tiempo con una sola cifra decimal:

1. a) Realice el redondeo a las décimas.
2. b) ¿Ha sido una aproximación al alza o a la baja? Explique por qué se ha fijado en la cifra de las centésimas.

Observe los siguientes números decimales y aproxímelos a las décimas utilizando la técnica del redondeo:

1. a) $3,14$
2. b) $9,68$
3. c) $0,45$
4. d) $1,03$

La capacidad de descarga de una conexión a internet es de $92,578$ Mbps. El técnico nos dice que, para simplificar, podemos truncar el número a las centésimas.

1. a) ¿Qué valor obtendremos?
2. b) Dibuje una pequeña recta numérica y sitúe el valor original y el valor truncado.

En el supermercado, las balanzas de fruta suelen redondear el peso. Si compramos una bolsa de naranjas que pesa $2,341$ lb, indique cuál sería el peso mostrado si la balanza:

1. a) Redondea a las unidades.
2. b) Redondea a las centésimas.

Aproxime el número $\pi \approx 3,141592...$ de las siguientes maneras:

1. a) Por redondeo a las milésimas.
2. b) Por truncamiento a las milésimas.
3. c) ¿En qué caso el resultado es mayor?

Imagine que va a pagar con un billete de $$20$$ una compra que cuesta $$14,23$$. El cajero no tiene monedas de pocos centavos y le propone redondear el precio a la decena de centavo más cercana (es decir, a las décimas).

1. a) ¿Cuál sería el nuevo precio redondeado?
2. b) ¿Cuánto dinero le devolvería el cajero tras el redondeo?

Copia y completa la siguiente tabla en tu cuaderno, realizando las aproximaciones indicadas para el número decimal $n = 14,3728$.

Aproximación a las...	Truncamiento	Redondeo
Décimas
Centésimas
Milésimas

Observa la siguiente recta numérica donde se ha representado un número decimal $x$ con una lupa.

Sabiendo que el punto naranja representa al número $x = 3,774$:

1. a) ¿Entre qué dos centésimas se encuentra el número $x$?
2. b) Si tuvieras que aproximar $x$ a las décimas por redondeo, ¿qué valor elegirías? Justifica tu respuesta observando la posición del punto en la recta respecto al punto medio ($3,75$).

En una tienda de aplicaciones de videojuegos, el precio de un nuevo paquete de texturas es de $\$12,957$.

1. a) Si la tienda decide truncar el precio a las centésimas para mostrarlo en el catálogo, ¿qué precio aparecerá?
2. b) Si el sistema de pago redondea a las centésimas (centavos) al realizar el cobro final, ¿cuánto pagará realmente el usuario?
3. c) ¿Qué diferencia de dinero hay entre el precio truncado y el precio redondeado?

Tres atletas han participado en una carrera de 60 metros en la escuela secundaria. Los tiempos registrados por el cronómetro han sido los siguientes:

• Lucía: $8,429$ segundos.

• Marcos: $8,421$ segundos.

• Adrián: $8,425$ segundos.

1. a) Si los resultados se publican en la página web de la escuela secundaria redondeados a las centésimas, ¿qué tiempo aparecerá para cada uno?
2. b) Al observar los resultados redondeados, ¿parece que han tardado lo mismo? ¿Es eso cierto según los tiempos originales?

Un profesor de matemáticas calcula la nota media de un examen y obtiene $6,4782$.

1. a) Aproxima la nota a las décimas por truncamiento.
2. b) Aproxima la nota a las décimas por redondeo.
3. c) ¿Cuál de las dos aproximaciones beneficia más al alumno? ¿Por qué crees que en los boletines de notas se suele utilizar el redondeo en lugar del truncamiento?

Queremos poner una cerca protectora alrededor de un pequeño jardín rectangular. Al medir con una cinta métrica digital, obtenemos que los lados miden $4,56$ pies y $3,27$ pies.

1. a) Calcule el perímetro del jardín.
2. b) Si el dueño del jardín compra la cerca en una ferretería que solo vende por pies enteros y siempre redondea al alza (aproximación por exceso a las unidades) para asegurarse de que no falte material, ¿cuántos pies de cerca comprará?

Piense y responda a este enigma sobre números decimales:

"Soy un número con tres cifras decimales. Si me truncas a las centésimas, soy $7,42$. Sin embargo, si me redondeas a las centésimas, soy $7,43$".

Escriba tres números diferentes que cumplan estas condiciones. ¿Cuál es el número más pequeño que podría ser? ¿Y el más grande?

Una báscula de precisión marca que una bolsa de manzanas pesa $2,345$ kg.

1. a) Exprese el peso en gramos (recuerde que $1$ kg = $1.000$ g).
2. b) Si el tendero nos dice que el peso es, aproximadamente, de $2,3$ kg, ¿qué tipo de aproximación ha realizado?
3. c) Calcule el error cometido en la aproximación del tendero (la diferencia entre el peso real y el aproximado). Exprese el resultado en kilogramos y en gramos.

Estamos investigando un número decimal "misterioso", al que llamaremos $N$, que tiene tres cifras decimales. Sabemos las siguientes pistas sobre él:

1. Su parte entera es el primer número primo de dos cifras.

2. Si lo redondeamos a las centésimas, obtenemos $11,38$.

3. Si lo truncamos a las décimas, obtenemos $11,3$.

4. La suma de sus tres cifras decimales es $19$.

¿De qué número se trata? Razona tu respuesta descartando las opciones que no cumplen las condiciones.

En una gasolinera económica, el precio del galón de gasolina es de $\$1,419$. Un grupo de amigos llena el tanque de su camioneta para un viaje con $52,6$ galones.

La caja de la gasolinera está programada para calcular el total y luego redondear el resultado final a los centavos (dos cifras decimales). Sin embargo, uno de los amigos insiste en que primero se debería truncar el precio del galón a los centavos y luego multiplicar por los galones.

Calcula la diferencia de precio entre ambos métodos. ¿Cuál de los dos beneficia al cliente y cuál a la gasolinera?

En un laboratorio de biología, se está midiendo el crecimiento de una bacteria. La longitud actual es de $0,03478$ milímetros.

• El científico A decide usar una aproximación por redondeo a las milésimas.

• El científico B prefiere usar una aproximación por truncamiento a las diezmilésimas.

Indica cuál de los dos valores es mayor y calcula la diferencia exacta entre ambas aproximaciones. ¿Cuál de las dos crees que es "más fiel" al valor real de la bacteria?

Encuentra un número decimal que cumpla simultáneamente estas tres condiciones de "frontera":

• Que sea mayor que $7,45$ y menor que $7,46$.

• Que al redondearlo a las milésimas, el resultado sea $7,458$.

• Que la suma de sus cuatro cifras decimales sea igual a $25$.

¿Es único este número o existen varias posibilidades? Justifica tu respuesta.

Un grupo de 7.º grado está diseñando una pieza para una impresora 3D. El software les da una medida de $12,666...$ (periódico) milímetros para el grosor de un encaje. La impresora tiene tres modos de precisión:

• Modo Eco: Trunca a las décimas.

• Modo Estándar: Redondea a las centésimas.

• Modo Pro: Redondea a las milésimas.

Calcula el valor que utilizaría la impresora en cada modo. Si el hueco donde debe entrar la pieza mide exactamente $12,67$ mm, ¿en qué modos entrará la pieza y en cuáles no? (Considera que para entrar, la pieza debe ser menor o igual que el hueco).

Observa la siguiente recta numérica donde se han representado dos aproximaciones del número $X$.

Sabiendo que el truncamiento a las centésimas es $3,14$ y el redondeo a las centésimas es $3,15$, indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando cada una:

• a) La cifra de las milésimas de $X$ debe ser mayor o igual a $5$.

• b) El número $X$ podría ser $3,1449$.

• c) Si sumamos $0,001$ al número $X$, su truncamiento a las centésimas seguirá siendo $3,14$.

Un chef de cocina moderna necesita pesar tres ingredientes con una báscula de alta precisión que da milésimas de gramo:

• Sal: $2,341$ g

• Pimienta: $1,256$ g

• Azafrán: $0,897$ g

El chef quiere saber el peso total de la mezcla de especias. Compara estos dos procedimientos:

1. Procedimiento 1: Sumar los tres pesos exactos y luego redondear el resultado final a las décimas.

2. Procedimiento 2: Redondear cada ingrediente a las décimas y luego sumarlos.

Calcula ambos resultados. ¿Son iguales? Explica por qué el redondeo individual puede dar lugar a un error mayor que el redondeo al final de la operación.

Inventa un problema de la vida cotidiana (compras, deportes, ciencia...) donde se den estas dos condiciones simultáneamente:

1. Sea necesario usar un número con al menos cuatro cifras decimales.

2. La diferencia entre truncar ese número a las centésimas y redondearlo a las centésimas sea exactamente de $0,01$.

Escribe el enunciado completo y explica cómo se resolvería aplicando las reglas de aproximación.