Ejercicios: Monomios

En el mundo del álgebra, no todas las expresiones son "monomios". Recuerda que un monomio es un producto de un número y una letra (o varias) con exponentes naturales. Indica cuáles de las siguientes expresiones son monomios y cuáles no. En caso negativo, explica por qué:

1. a) $5x^3$
2. b) $2 + a$
3. c) $-3ab^2$
4. d) $\frac{4}{x}$
5. e) $x$
6. f) $\sqrt{x}$

Copia la siguiente tabla en tu cuaderno y completa los elementos que faltan para cada monomio. ¡Ten cuidado con los signos y los exponentes invisibles!

Dos monomios son "semejantes" si tienen exactamente la misma parte literal. En el siguiente listado, hay tres parejas de monomios semejantes escondidas. ¡Encuéntralas y agrúpalas!

• $4x^2$

• $-5ab$

• $\frac{1}{3}x$

• $2x^2$

• $8ab$

• $-7x$

Estamos organizando un torneo de videojuegos. La moneda del juego son las "Gemas" ($g$) y las "Monedas de Oro" ($m$). Expresa mediante un monomio las siguientes situaciones:

1. a) El triple de las gemas que tienes.
2. b) La mitad de las monedas de oro.
3. c) El precio de comprar $5$ sobres si cada sobre cuesta $x$ gemas.
4. d) El área de una alfombra cuadrada para tu habitación virtual cuyo lado mide $s$.

Queremos cercar un recinto para perros en un refugio de animales. El recinto tiene forma de rectángulo. El lado largo mide el triple que el lado corto. Si llamamos $x$ al lado corto:

1. a) Escribe un monomio para el lado largo.
2. b) Escribe una expresión para el perímetro total del recinto y simplifícala para obtener un solo monomio.

Simplifica estas expresiones sumando o restando los monomios que sean semejantes. Si no se puede simplificar, indica por qué:

1. a) $3x + 5x - 2x$
2. b) $7a^2 - a^2$
3. c) $4x + 3y$
4. d) $5ab + ab - 3ab$
5. e) $x^3 + x^3 + x^3$

Calcula el resultado de las siguientes multiplicaciones de monomios. Recuerda multiplicar los números por un lado y las letras por otro usando las propiedades de las potencias:

1. a) $3 \cdot (4x)$
2. b) $2x \cdot 5x$
3. c) $(-3a^2) \cdot (2a)$
4. d) $x^2 \cdot x^3$
5. e) $(4xy) \cdot (2y)$

Imagina que un influencer gana $\$5x$ por cada mención publicitaria que hace en sus redes, donde $x$ es el número de días que el anuncio está visible.

1. a) ¿Qué monomio representa lo que gana si hace $3$ menciones iguales?
2. b) Calcula el valor numérico (el dinero real) si el anuncio está visible durante $x = 10$ días.

En un videojuego de estrategia, los recursos se almacenan mediante expresiones algebraicas. Completa la siguiente tabla para que el programador pueda organizar el inventario correctamente:

Estás organizando los archivos de tu computadora. Para ahorrar espacio, solo puedes sumar o restar aquellos "archivos" (monomios) que sean semejantes. Reduce la siguiente expresión al máximo:

$7x^2 - 3x + 2x^2 - 10x + 5$

Un "influencer" quiere calcular el área de la pantalla de su nuevo teléfono inteligente para diseñar un fondo de pantalla personalizado. Si la base del teléfono mide $3x$ pulgadas y la altura mide $5x^2$ pulgadas, escribe el monomio que representa el área total.

En la tienda de cómics, el precio de un manga es $\$x$. Si Luis compra el triple del cuadrado de mangas y luego le descuentan el doble del cuadrado de mangas, ¿qué monomio representa la cantidad final de mangas que ha pagado? Escribe la operación y simplifica.

Calcula el producto de estos dos monomios que representan la potencia de dos servidores de datos:

$P_1 = -4a^2b^3$

$P_2 = \frac{1}{2}ab^2$

Recuerda aplicar correctamente las reglas de los signos y las propiedades de las potencias de la misma base.

Un servidor de streaming divide un paquete de datos de tamaño $24x^6$ entre $4x^2$ usuarios. Escribe el monomio que representa la cantidad de datos que recibe cada usuario.

Halla el valor numérico del monomio $V(x, y) = -3x^2y$ para los siguientes valores de las variables (puntuaciones de un juego):

1. a) Para $x = 2$ e $y = 5$.
2. b) Para $x = -1$ e $y = -4$.

Se quiere rodear con una cinta LED una estantería con una forma poligonal especial. Calcula el monomio que representa el perímetro total de la figura sumando sus lados:

Un artista urbano está diseñando un mural con formas geométricas entrelazadas. El diseño central consiste en un gran rectángulo de base $5x^2$ y altura $3y$. Dentro de este rectángulo, el artista deja un hueco sin pintar en forma de triángulo cuya base mide $2x^2$ y su altura es de $y$. Escribe el monomio simplificado que represente el área que finalmente será pintada de color.

En un videojuego de estrategia, el daño que inflige un hechizo depende del nivel del mago ($x$) y de su energía mágica ($y$). El hechizo básico de fuego tiene un valor de $6x^2y^3$. Si un mago consigue un potenciador que multiplica su daño por $\frac{2}{3}xy^2$ y luego el enemigo reduce ese daño total a la cuarta parte debido a su armadura, ¿cuál es el monomio que representa el daño final recibido por el enemigo? Indica también el grado del monomio resultante.

Observa la siguiente torre construida con cubos decorativos. Cada cubo tiene una arista que mide $a$ pulgadas. Se sabe que la cara superior de cada cubo está pintada de oro, y las caras laterales exteriores (que no están tocando otro cubo) están pintadas de plata.

1. Escribe el monomio que representa el área total pintada de oro en una torre de $n$ pisos.

2. Escribe el monomio que representa el área total pintada de plata si la torre tiene exactamente 4 pisos como la de la imagen.

Una empresa de logística utiliza drones para entregar paquetes. El consumo de batería de un dron en un viaje de ida y vuelta viene dado por la expresión $8ab^2$. Si en un día con mucho viento el consumo aumenta en $3ab^2$ y, además, por llevar carga pesada el consumo total se duplica, ¿qué expresión algebraica representaría el consumo de 5 drones haciendo el mismo trayecto en esas condiciones?

Completa la siguiente "Pirámide de Monomios". En esta pirámide, el valor de cada casilla es el producto de los dos monomios que tiene debajo. Debes hallar los monomios que faltan en la base para que el monomio de la cúspide sea el correcto.

Calcula el valor numérico de la expresión resultante de la siguiente operación con monomios para $x = -2$ e $y = 3$:

Pista: Simplifica primero la expresión utilizando las propiedades de las potencias antes de sustituir los valores.

Un "influencer" analiza sus estadísticas semanales. Ha observado que el número de "likes" que recibe es el doble de sus seguidores ($s$) multiplicado por la raíz cuadrada de sus publicaciones ($p$), pero como la raíz es difícil de usar, su equipo usa el monomio $5s^2p$ para estimar el alcance. Si esta semana ha tenido $3s^2p$ likes de fotos y $7s^2p$ likes de videos, y el sistema elimina por error el triple de la diferencia entre videos y fotos, escribe el monomio simplificado que representa sus likes finales.

Inventa dos monomios, $M_1$ y $M_2$, que cumplan todas estas condiciones a la vez:

1. Ambos deben tener como parte literal $a^2b$.

2. Su suma debe ser un monomio cuyo coeficiente sea $-10$.

3. Al dividir $M_1$ entre $M_2$, el resultado debe ser el número $4$.

Escribe los dos monomios y comprueba que cumplen las condiciones.