Ejercicios: Hipótesis, valor p, errores y potencia

Un contraste rechaza $H_0$ cuando el estadístico supera un umbral. En un dibujo con curvas bajo $H_0$ y $H_1$, identifica el área bajo $H_0$ a la derecha del umbral y el área bajo $H_1$ a su izquierda.

El siguiente esquema representa los datos del ejercicio.

Un equipo quiere evaluar si una media de puntuaciones difiere de 50 en cualquier dirección. Formula hipótesis nula y alternativa.

Con nivel de significación $0,05$ se obtiene $p=0,03$. Indica la decisión estadística.

Con $p=0,18$ y nivel $0,05$, ¿se demuestra que la hipótesis nula es verdadera?

Define error de tipo I en un contraste que considera nula la ausencia de mejora de una intervención.

Si un contraste tiene $\beta=0,20$ frente a una alternativa concreta, ¿cuál es su potencia en esa alternativa?

Interpreta un valor p de $0,04$ sin usar la frase «probabilidad de que la nula sea cierta».

Para un contraste normal bilateral se obtiene $z=2$. Con $\Phi(2)=0,9772$, calcula el valor p y decide al 5 %.

Un contraste unilateral superior tiene estadístico $z=1,5$. Usa $\Phi(1,5)=0,9332$ para calcular p y decidir al 5 %.

Si se reduce $\alpha$ de $0,05$ a $0,01$ manteniendo muestra, modelo y alternativa concreta, explica el efecto habitual sobre $\beta$ y potencia.

Se realizan 20 contrastes válidos cuyas nulas son verdaderas, cada uno con tamaño exacto del 5 %. ¿Cuántos falsos rechazos se esperan? ¿Se necesita independencia para esa esperanza?

Dos estudios hallan la misma diferencia estimada, pero uno tiene $p=0,04$ y otro $p=0,20$. ¿Demuestra eso que sus efectos poblacionales difieren?

Un efecto estimado de $0,10$ puntos en una escala de 100 tiene $p<0,001$. ¿Basta para afirmar relevancia práctica?

Una alternativa «la media aumenta» se decide después de observar que la media muestral es alta. Explica el problema de escoger entonces un contraste unilateral.

Se realizan diez contrastes independientes con nulas verdaderas y tamaño exacto $0,05$. Calcula la probabilidad de al menos un falso positivo.

En una prueba unilateral de media normal con $\sigma=10$, $n=25$ y $H_0:\mu=50$, se rechaza si $\bar X>53,29$. Calcula la potencia cuando $\mu=54$ usando $\Phi(-0,355)=0,3613$.

Un contraste tiene potencia $0,90$ para una diferencia de 10 unidades. ¿Puede afirmarse que también tiene potencia $0,90$ para una diferencia de 2? Explica.

Se prueban cinco hipótesis y se quiere controlar el error familiar al 5 % mediante Bonferroni. Para valores p $0,004$; $0,012$; $0,020$; $0,200$; $0,800$, indica cuáles se rechazan.

Un equipo revisa p cada diez observaciones y detiene el estudio en cuanto $p<0,05$, sin corrección secuencial. Explica por qué el error tipo I puede superar 5 %.

En una simulación de 1000 estudios, 900 tienen nula verdadera y 100 alternativa verdadera. Un procedimiento rechaza el 5 % de las nulas verdaderas y tiene potencia del 80 % frente a esas alternativas. Calcula los rechazos verdaderos y falsos esperados y la fracción esperada de falsos entre rechazos usando el cociente de expectativas.