Ejercicios: Propiedades de las potencias

Expresa como una única potencia de base $5$ aplicando las propiedades de las potencias: $\frac{5^4 \cdot 5^{-2}}{5^3}$.

Calcula el valor de la siguiente potencia y expresa el resultado en forma de fracción irreducible: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$.

Reduce a una sola potencia utilizando las propiedades adecuadas: $\left((-7)^3\right)^{-4} \cdot (-7)^5$.

Escribe como una única potencia aplicando las propiedades de las operaciones con potencias del mismo exponente: $15^4 : 3^4 \cdot 2^4$.

Simplifica la siguiente expresión algebraica dejando el resultado con exponentes positivos: $\frac{x^3 \cdot y^{-2}}{x^{-1} \cdot y^4}$.

Encuentra el valor del exponente $x$ para que se cumpla la siguiente igualdad: $2^x \cdot 2^3 = 2^{-1}$.

Expresa el número $\frac{1}{128}$ como una potencia de base $2$ utilizando un exponente negativo.

Indica si la siguiente afirmación es verdadera o falsa, justificando tu respuesta mediante las propiedades de las potencias: "El doble de $2^8$ es $4^8$".

Simplifica la siguiente expresión factorizando previamente las bases y aplicando las propiedades de las potencias. Expresa el resultado como un producto de potencias de bases primas: $\frac{18^2 \cdot 12^{-3}}{24^{-1} \cdot 9^3}$.

Un rumor en un instituto se propaga duplicando cada hora el número de personas que lo conocen. Si inicialmente lo conocen $1000$ personas, expresa en forma de producto con una potencia el número de personas que lo conocerán al cabo de $12$ horas y calcula su valor final.

Una sustancia radiactiva reduce su masa a la tercera parte cada día que pasa. Si hoy tenemos una muestra de $81$ gramos, expresa mediante una potencia de base $3$ la cantidad de sustancia que quedará dentro de $6$ días y calcula el resultado.

Simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica, utilizando las propiedades de las potencias y dejando el resultado sin exponentes negativos: $\left( \frac{a^{-2} \cdot b^3}{a \cdot b^{-1}} \right)^{-2}$.

Una empresa de embalajes fabrica cajas con forma cúbica. Si deciden triplicar la longitud de la arista de una caja estándar, ¿por qué factor quedará multiplicado su volumen? Expresa tu razonamiento utilizando las propiedades de la potencia de un producto.

Sin utilizar la calculadora, determina cuál de las siguientes cantidades es mayor: $3^{50}$ o $9^{20}$. Justifica tu respuesta transformando una de las potencias para que ambas tengan la misma base.

Resuelve la siguiente ecuación exponencial expresando todos los términos como potencias de la misma base y operando con sus exponentes: $4^x \cdot 2^{x+1} = \frac{1}{8}$.

Un capital se invierte a un interés compuesto anual tal que cada año el dinero se multiplica por $1,05$. Si la inversión inicial es de $2000$ €, escribe la expresión en forma de potencia que calcula el capital tras $t$ años. ¿Cuánto dinero habrá tras $4$ años?

Simplifica la siguiente expresión en la que los exponentes dependen del parámetro $n$, extrayendo factor común si es necesario para poder operar: $\frac{3^{n+2} - 3^n}{3^{n+1} + 3^n}$.

La alfombra de Sierpinski es un fractal que se construye a partir de un cuadrado. En cada iteración, cada cuadrado sólido se divide en $9$ cuadrados iguales y se elimina el central. Si el área inicial ($n=0$) es de $1\text{ m}^2$, en la primera iteración el área restante es $\frac{8}{9}\text{ m}^2$. Expresa el área restante tras $n$ iteraciones usando potencias. Calcula el área que quedará tras $5$ iteraciones.

La ley empírica de Moore sugiere que el número de transistores en un microprocesador se duplica aproximadamente cada $2$ años. Si en el año 1970 un procesador tenía $2000$ transistores, expresa el número de transistores en el año $1970 + t$ mediante una potencia de base $2$. Utiliza esta propiedad para estimar cuántos transistores tendría un procesador en el año 2010.

Un alumno ha realizado el siguiente desarrollo algebraico para simplificar una expresión:

$\frac{10^4 \cdot 5^{-2}}{2^4 \cdot 5^2} = \frac{(2 \cdot 5)^4 \cdot 5^{-2}}{2^4 \cdot 5^2} = \frac{2^4 \cdot 5^4 \cdot 5^{-2}}{2^4 \cdot 5^2} = 5^{4 - 2 - 2} = 5^0 = 1$

Identifica si hay algún error en su razonamiento, explícalo detalladamente y proporciona el resultado correcto aplicando de forma estricta las propiedades de las potencias.

Encuentra los valores de $x$ e $y$ que satisfacen simultáneamente las siguientes igualdades, utilizando las propiedades de las potencias para transformar el sistema en un sistema de ecuaciones lineales:

$2^x \cdot 4^y = 256$

$\frac{3^{2x}}{9^y} = 27$

En astrofísica, la intensidad de la luz que recibimos de una estrella es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la que nos encontramos. Si nos alejamos a una distancia $4$ veces mayor de la estrella, expresa mediante una potencia de exponente negativo el factor por el cual se multiplica la intensidad de la luz original. Si la intensidad inicial era $I_0$, ¿cuál será la nueva intensidad en función de $I_0$?

Simplifica la siguiente expresión algebraica, donde $x$ e $y$ son números reales distintos de cero y $a, b$ son números enteros:

$\left( \frac{x^{a-b} \cdot y^{b+a}}{x^{a+b} \cdot y^{b-a}} \right)^{-1}$

Aplica las propiedades de potencias con la misma base y expresa el resultado final utilizando únicamente exponentes positivos.

Imagina que tienes una hoja de papel de $0,1\text{ mm}$ de grosor. Cada vez que doblas la hoja por la mitad sobre sí misma, su grosor se duplica. Expresa el grosor de la hoja tras $n$ dobleces mediante una potencia. Si la distancia media de la Tierra a la Luna es de aproximadamente $384\,000\text{ km}$, plantea una ecuación utilizando potencias de $2$ para estimar cuántos dobleces se necesitarían para que el grosor del papel alcance la Luna (puedes estimar el valor sabiendo que $2^{10} \approx 10^3$).