Ejercicios: Intervalos, semirectas y entornos

Observa la representación gráfica del siguiente conjunto de números reales y exprésalo utilizando notación de intervalo y en forma de desigualdad.

Expresa mediante un intervalo la siguiente desigualdad y represéntala de forma aproximada en una recta numérica: $-3 < x \le 5$.

Escribe en forma de entorno $E(a, r)$ el intervalo abierto $(2, 10)$.

Expresa el entorno $E(-1, 4)$ como un intervalo y tradúcelo a una desigualdad.

Indica cuáles de los siguientes números pertenecen al intervalo $[-1,5; 3)$:

$-2$, $-1,5$, $0$, $2,99$, $3$, $\pi$

Escribe en forma de semirrecta el conjunto de todos los números reales que son menores o iguales que $7$.

Expresa en forma de desigualdad y mediante un intervalo el conjunto de números reales cuya distancia al cero es estrictamente menor que $5$.

Asocia cada una de las siguientes frases con su correspondiente intervalo matemático:

• "Temperaturas bajo cero."

• "Edades entre 12 y 16 años, ambos inclusive."

• "Precios superiores a 50 euros."

En el ámbito de la nutrición, se considera que el Índice de Masa Corporal (IMC) es saludable si se encuentra en el intervalo $[18,5; 24,9]$. Expresa este rango en forma de entorno cerrado, calculando previamente su centro y su radio.

Una máquina produce ejes de acero cuya longitud ideal es de $120\text{ mm}$. El control de calidad permite un error máximo de $0,5\text{ mm}$. Expresa el rango de longitudes permitidas como un entorno, como una desigualdad con valor absoluto y, finalmente, como un intervalo.

Dados los intervalos $A = [-4, 3)$ y $B = (0, 6]$, determina el intervalo resultante de la unión $A \cup B$ y de la intersección $A \cap B$.

En un acuario, los peces payaso viven bien a temperaturas comprendidas en el intervalo $(24, 28]$ ºC, mientras que los peces ángel las necesitan en el intervalo $[26, 30)$ ºC. Determina en qué intervalo de temperaturas pueden convivir ambas especies y exprésalo como una desigualdad.

Encuentra todos los números enteros que pertenecen simultáneamente a los intervalos $(-3,2; 4]$ y $[0; 5,1)$.

Expresa mediante valor absoluto el conjunto de números reales cuya distancia al número $-2$ es menor o igual que $6$, y escribe el intervalo resultante.

El precio de un videojuego en una tienda online osciló durante la semana dentro del entorno $E(24,5; 1,8)$ euros. Determina el precio máximo y mínimo que alcanzó el videojuego y exprésalo como un intervalo cerrado.

Resuelve la inecuación con valor absoluto $|x - 4| < 3$ y expresa la solución en forma de intervalo y de entorno.

Un puente está diseñado para soportar cargas $C$ (en kg) que cumplan la condición $|C - 4500| \le 1500$. Por otra parte, una normativa local prohíbe el paso de vehículos que superen los $5500\text{ kg}$. Determina el intervalo real de cargas que pueden circular por el puente cumpliendo ambas condiciones.

Sean los conjuntos $I = (-\infty, 2]$, $J = (-1, 5)$ y $K = [3, 8]$. Calcula el intervalo resultante de la operación $(I \cap J) \cup K$.

Expresa el intervalo cerrado $[3,2; 8,8]$ en forma de entorno $E(a, r)$ y, a continuación, tradúcelo a una desigualdad con valor absoluto de la forma $|x - a| \le r$. Explica brevemente qué representan los parámetros $a$ y $r$ geométricamente en la recta real.

Para que el agua de una piscina sea segura, su pH debe estar estrictamente en el intervalo $[7,2; 7,6]$. Si disponemos de un medidor electrónico que tiene un error absoluto máximo de $0,1$, determina en qué intervalo debe dar la lectura el aparato para que tengamos la certeza absoluta de que el pH real es seguro. Exprésalo también como entorno.

Encuentra el intervalo de números reales $x$ que cumplen simultáneamente las inecuaciones $3x - 2 \le 7$ y $5 - x < 4$. Una vez hallado, exprésalo como entorno.

Un fabricante de tornillos acepta aquellos cuya longitud $L$ (en mm) cumple la condición $|L - 30| < 0,5$. Se recibe un lote de tornillos cuyas longitudes varían uniformemente en el intervalo $[29,2; 30,8]$. ¿Qué porcentaje del rango de longitudes de este lote será rechazado por el control de calidad?

La "zona de habitabilidad" de una estrella enana roja se define mediante un entorno de centro $0,8\text{ UA}$ y radio $0,2\text{ UA}$. Un exoplaneta tiene una órbita elíptica cuya distancia al astro varía en el intervalo $[0,5; 1,1]\text{ UA}$. Determina qué intervalos de la órbita del planeta caen fuera de la zona de habitabilidad.

Determina el valor del parámetro $k$ para que el intervalo solución de la inecuación $|x - k| \le 5$ tenga como extremo superior el número $12$. Una vez calculado $k$, indica cuál es el extremo inferior del intervalo y exprésalo en forma de entorno.