Ejercicios: Estudiar una función

Observa la siguiente gráfica y determina su dominio y su recorrido.

Calcula la tasa de variación media (TVM) de la función $f(x) = 2x^2 - 3x$ en el intervalo $[-1, 2]$.

Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función $f(x) = \frac{3x - 6}{x + 2}$.

Determina analíticamente si la función $f(x) = x^4 - 5x^2 + 3$ es simétrica par, simétrica impar o no tiene simetría.

A partir de la siguiente gráfica, indica los intervalos de monotonía (crecimiento y decrecimiento) y las coordenadas de sus extremos relativos.

Calcula el dominio de definición de la función irracional $f(x) = \sqrt{2x - 8}$.

Estudia la continuidad de la siguiente función definida a trozos en el punto $x = 1$:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x \leq 1 \\ 4 - x & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Identifica las ecuaciones de la asíntota vertical y la asíntota horizontal de la función $f(x) = \frac{5}{x - 3} + 2$.

La siguiente gráfica muestra la evolución del número de espectadores semanales (en miles) de una película de estreno a lo largo del tiempo (en semanas). Estudia el dominio y el recorrido en el contexto del problema, e indica en qué intervalos la audiencia crece, decrece o se mantiene constante.

Halla el dominio de definición de la función racional $f(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 4x - 5}$.

Estudia la simetría de la función $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ y calcula sus puntos de corte con los ejes de coordenadas.

La posición de un objeto en movimiento rectilíneo viene dada por la función $e(t) = 5t^2 + 2t$, donde $e$ es el espacio en metros y $t$ el tiempo en segundos. Calcula la velocidad media (tasa de variación media) en los intervalos $[1, 3]$ y $[3, 5]$, e indica en qué intervalo el objeto se movió más rápido.

Expresa la función con valor absoluto $f(x) = |2x - 4|$ como una función definida a trozos y determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

La variación del nivel de un embalse $v$ (en metros respecto a su nivel medio) en función del mes $x$ del año viene dada por la función $v(x) = -0,5x^2 + 10x - 18$. Determina en qué mes el nivel del embalse está más alto, a cuánto asciende esa diferencia máxima respecto al nivel medio y en qué meses el embalse está exactamente al nivel medio ($v = 0$).

Determina las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de la función $f(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$.

Describe el comportamiento de la función $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 + 1}$ analizando su dominio, sus puntos de corte con los ejes, su simetría y sus asíntotas horizontales y verticales.

Dada la siguiente función definida a trozos, estudia su dominio, su continuidad, sus puntos de corte con los ejes y sus intervalos de monotonía:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{si } x < 0 \\ 2x - 4 & \text{si } 0 \leq x < 4 \\ 4 & \text{si } x \geq 4 \end{cases}$

En un triángulo isósceles de base $12$ cm y altura $10$ cm, se inscribe un rectángulo cuya base $x$ descansa sobre la base del triángulo, como muestra la figura. Expresa el área del rectángulo en función de su base $x$ y determina el dominio de esta función en el contexto geométrico del problema.

La función racional $f(x) = \frac{ax + b}{x + c}$ pasa por el punto $(0, 1)$, tiene una asíntota vertical en la recta $x = 2$ y una asíntota horizontal en la recta $y = 3$. Plantea un sistema de ecuaciones y halla los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$.

La concentración de un determinado fármaco en la sangre de un paciente, en mg/L, tras $t$ horas desde su administración viene dada por el modelo $C(t) = \frac{10t}{t^2 + 1}$. Calcula la tasa de variación media en la primera hora (intervalo $[0, 1]$) e interpreta el resultado. Además, razona matemáticamente cuál es la tendencia de la concentración del fármaco a largo plazo (cuando $t \to \infty$).

Esboza en tu cuaderno la gráfica de una función $f(x)$ que cumpla simultáneamente todas las siguientes condiciones:

• Su dominio es $\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$.

• Es una función con simetría impar.

• Tiene asíntotas verticales en $x = -2$ y $x = 2$, y una asíntota horizontal en $y = 0$.

• Presenta un máximo relativo en el punto $(-4, 1)$ y un mínimo relativo en $(4, -1)$.

• Pasa por el origen de coordenadas.

A partir de la función cuadrática $f(x) = x^2 - 4x$, obtén la expresión analítica como función a trozos de $g(x) = |x^2 - 4x|$. Representa mentalmente la situación y determina los intervalos de concavidad y convexidad de $g(x)$.

Un proyectil es lanzado hacia arriba y sigue una trayectoria descrita por la función $h(t) = -5t^2 + 20t + 25$, donde $h$ es la altura en metros y $t$ el tiempo en segundos desde el lanzamiento. Determina el dominio de la función restringido a la duración real del vuelo (hasta que impacta contra el suelo), la altura desde la que fue lanzado, la altura máxima que alcanza y el tiempo total de vuelo.

Demuestra analíticamente si la función $f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4}$ es simétrica par, impar o ninguna de las dos. A continuación, calcula sus puntos de corte con los ejes y determina las ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales.