Ejercicios: Media y varianza

Dada la siguiente lista de datos numéricos: $4, 6, 8, 10, 12$. Calcula la media aritmética y la varianza de la distribución.

Las notas obtenidas por cinco alumnos en un examen de matemáticas son $5, 7, 6, 8$ y $9$. Calcula la nota media y la desviación típica.

En una semana, las temperaturas máximas registradas de lunes a jueves fueron $20$ ºC, $22$ ºC, $x$ ºC y $24$ ºC. Sabiendo que la temperatura media de esos cuatro días fue de $22$ ºC, halla el valor desconocido de $x$.

El siguiente diagrama de barras muestra el número de hermanos que tienen los alumnos de una clase. A partir del gráfico, calcula la media de hermanos por alumno.

En un estudio estadístico con $N = 10$ datos, se sabe que la suma de todos los datos es $\sum x_i = 50$ y la suma de sus cuadrados es $\sum x_i^2 = 300$. Calcula la varianza de la distribución.

Un grupo de atletas tiene un peso medio de $70$ kg con una desviación típica de $7$ kg. Otro grupo de gimnastas tiene un peso medio de $50$ kg con una desviación típica de $6$ kg. Calcula el coeficiente de variación de ambos grupos e indica cuál de los dos tiene un peso más disperso en términos relativos.

Se ha preguntado a un grupo de personas por el número de veces que van al cine al mes. Los resultados muestran que $3$ personas van $1$ vez, $5$ personas van $2$ veces y $2$ personas van $3$ veces. Calcula la media de esta distribución.

La media de las edades de un grupo de $15$ amigos es actualmente de $16$ años. ¿Cuál será la media de sus edades dentro de $4$ años? Justifica tu respuesta aplicando las propiedades de la media aritmética.

Se ha realizado una encuesta a $40$ familias sobre el número de mascotas que tienen en casa, obteniendo los siguientes resultados: $10$ familias no tienen mascotas, $15$ familias tienen $1$ mascota, $10$ familias tienen $2$ mascotas, y $5$ familias tienen $3$ mascotas. Organiza los datos en una tabla y calcula la media, la varianza y la desviación típica.

El tiempo (en minutos) que tardan $50$ estudiantes en llegar al instituto desde sus casas se agrupa en la siguiente tabla de frecuencias:

• $[0, 10)$: $10$ estudiantes

• $[10, 20)$: $25$ estudiantes

• $[20, 30)$: $15$ estudiantes

Calcula el tiempo medio que tardan en llegar al instituto y la desviación típica de la distribución.

Para comparar la dispersión de dos variables distintas en un mismo grupo de personas, se midió el peso y la altura. El peso medio es de $65$ kg con una desviación típica de $5$ kg. La altura media es de $170$ cm con una desviación típica de $10$ cm. ¿Qué variable presenta mayor dispersión relativa? Justifica tu respuesta.

Los salarios mensuales de los trabajadores de una pequeña empresa tienen una media de $1200$ € y una desviación típica de $150$ €. Para el próximo año, la dirección decide aplicar un aumento del $10\%$ a todos los sueldos y, además, añadir un plus fijo de $50$ €. Calcula la nueva media y la nueva desviación típica de los salarios.

En un instituto de secundaria, la clase de 4ºA tiene $20$ alumnos con una nota media en Matemáticas de $6$. La clase de 4ºB tiene $30$ alumnos con una nota media de $7$. Si calculamos la nota de todos los alumnos de ambas clases en conjunto, ¿cuál será la nota media global?

El siguiente histograma muestra el tiempo en minutos que dedican al día varios jóvenes a leer. A partir del gráfico, extrae la tabla de frecuencias (utilizando las marcas de clase) y calcula el tiempo medio de lectura.

En un test rápido de $3$ preguntas, se ha registrado el número de aciertos de un grupo de personas. Se sabe que $4$ personas tuvieron $0$ aciertos, $x$ personas tuvieron $1$ acierto, $5$ personas tuvieron $2$ aciertos y $1$ persona tuvo $3$ aciertos. Si la media de aciertos del grupo es de $1,2$, determina cuántas personas tuvieron exactamente $1$ acierto.

Un profesor calculó que la nota media de sus $20$ alumnos en un examen era de $6,5$. Sin embargo, al revisar las correcciones, se dio cuenta de que anotó por error un $3$ a un alumno que en realidad había sacado un $8$. Calcula cuál es la nota media correcta sin necesidad de volver a sumar todas las notas individualmente.

En un estudio sobre el consumo de agua diario (en litros) de cierta población, los datos se agrupan en tres intervalos: $[0, 10)$, $[10, 20)$ y $[20, 30)$. Se sabe que las frecuencias absolutas de los dos primeros intervalos son $5$ y $f$ respectivamente, y la del tercer intervalo es $3$. Si el consumo medio aproximado es de $13,75$ litros, plantea una ecuación y halla la frecuencia $f$ desconocida.

Dados los datos $x_1, x_2, \dots, x_N$, demuestra algebraicamente que la suma de sus desviaciones respecto a la media aritmética siempre es igual a cero. Es decir, demuestra paso a paso que $\sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x}) = 0$.

Un grupo de $10$ chicos tiene una altura media de $160$ cm y una varianza de $20$ cm$^2$. Un grupo de $10$ chicas tiene una altura media de $150$ cm y una varianza de $15$ cm$^2$. Calcula la varianza conjunta de los $20$ estudiantes. (Pista: calcula primero la media global y luego la suma de los cuadrados total empleando las fórmulas de la varianza de cada grupo).

La media aritmética de dos números positivos desconocidos es $5$ y su varianza es $4$. Plantea un sistema de ecuaciones utilizando las fórmulas de la media y la varianza, y determina cuáles son esos dos números.

Las calificaciones obtenidas por tres estudiantes en un trabajo son proporcionales a su esfuerzo y vienen dadas por las expresiones $a$, $2a$ y $3a$ (donde $a > 0$). Sabiendo que la desviación típica de estas tres notas es exactamente $\sqrt{\frac{2}{3}}$, calcula el valor del parámetro $a$ y la media de las calificaciones.

La temperatura máxima diaria en una ciudad durante un mes tiene una media de $25$ ºC y una desviación típica de $2$ ºC. Si convertimos estas temperaturas a grados Fahrenheit mediante la fórmula $F = 1,8 \cdot C + 32$, calcula el coeficiente de variación en grados Fahrenheit y compáralo numéricamente con el coeficiente de variación original en grados Celsius. ¿Cambia la dispersión relativa al cambiar de escala?

En una pequeña empresa de $5$ trabajadores, $4$ de ellos cobran exactamente $1000$ € al mes, mientras que el gerente cobra $6000$ €. Calcula la media y la desviación típica de los $5$ sueldos. A la vista de los resultados numéricos obtenidos, explica razonadamente si la media aritmética es una medida representativa para este conjunto de datos.

El siguiente diagrama de sectores representa los resultados de una encuesta realizada a $40$ personas sobre el número de veces que hacen deporte a la semana (variable $x_i$). Sabiendo que el círculo completo son $360^\circ$ y observando la amplitud de cada sector, deduce las frecuencias absolutas de cada valor y calcula la varianza de la distribución.