Ejercicios: Medidas de dispersión

Las temperaturas máximas registradas en una ciudad durante una semana de invierno han sido: $12$, $14$, $9$, $11$, $15$, $10$ y $13$ grados Celsius. Calcula el rango de estas temperaturas.

Las notas de un alumno en cinco exámenes de matemáticas son $5$, $6$, $7$, $8$ y $9$. Sabiendo que la media aritmética es $7$, calcula la varianza y la desviación típica de sus calificaciones.

El peso medio de un modelo de tornillos fabricado industrialmente es de $15$ gramos, con una desviación típica de $0,45$ gramos. Calcula el coeficiente de variación y exprésalo en porcentaje.

En un bosque de pinos, la altura media es de $12$ metros con una desviación típica de $1,5$ metros. En un bosque de robles, la altura media es de $8$ metros con una desviación típica de $1,2$ metros. ¿Qué especie de árbol presenta una mayor dispersión relativa en su altura?

En un estudio estadístico sobre los salarios mensuales de una empresa, se ha determinado que el primer cuartil es $1200$ euros y el tercer cuartil es $1800$ euros. ¿Cuál es el rango intercuartílico de los salarios?

En un estudio estadístico compuesto por $20$ datos, se sabe que la suma de todos los valores es $\sum x_i = 100$ y la suma de sus cuadrados es $\sum x_i^2 = 580$. Calcula la varianza de la distribución.

La desviación típica de las edades de un grupo de amigos es actualmente de $2,5$ años. Si dentro de $4$ años volvemos a calcular la desviación típica de sus edades, ¿cuál será el nuevo valor? Justifica tu respuesta de forma razonada.

Una tabla de frecuencias agrupa el tiempo de uso diario del teléfono móvil en los siguientes intervalos: $[0, 1)$, $[1, 2)$, $[2, 3)$ y $[3, 4)$ horas. Determina el rango máximo posible de los datos originales que han sido agrupados en esta tabla.

En un equipo de fútbol, el número de goles marcados por partido a lo largo de una temporada se resume en la siguiente distribución:

• $0$ goles: $5$ partidos

• $1$ gol: $8$ partidos

• $2$ goles: $4$ partidos

• $3$ goles: $3$ partidos

Calcula la varianza y la desviación típica del número de goles por partido.

El tiempo, en minutos, que tardan varios clientes en ser atendidos en la caja de un supermercado se agrupa en los siguientes intervalos:

• $[0, 5)$: $4$ clientes

• $[5, 10)$: $10$ clientes

• $[10, 15)$: $6$ clientes

Halla la varianza y la desviación típica del tiempo de espera.

Dos ciclistas, Ana y Carlos, han registrado sus tiempos (en minutos) en cinco etapas idénticas de entrenamiento:

• Tiempos de Ana: $45$, $48$, $50$, $46$, $47$

• Tiempos de Carlos: $40$, $55$, $42$, $58$, $41$

Calcula el coeficiente de variación de cada uno de ellos y determina quién es más regular en sus tiempos.

Determina el rango y el rango intercuartílico de la distribución de puntuaciones representada en el siguiente diagrama de caja y bigotes.

Los precios de un producto tecnológico en varias tiendas de Estados Unidos tienen una desviación típica de $15$ dólares. Si para un estudio económico convertimos todos los precios a euros aplicando un tipo de cambio fijo de $0,90$ euros por dólar, ¿cuál será la varianza y la desviación típica de los precios expresados en euros?

En una muestra formada por tres datos, se sabe que dos de ellos son $4$ y $8$. Sabiendo que la media aritmética de los tres datos es $6$, averigua el valor del tercer dato y calcula la varianza de la muestra.

Calcula la varianza y la desviación típica de los datos representados en el siguiente histograma, sabiendo que el eje horizontal representa la edad en años y el eje vertical el número de personas. Utiliza las marcas de clase para tus cálculos.

Una máquina envasadora A produce paquetes de arroz con un peso medio de $500$ gramos y una desviación típica de $5$ gramos. Otra máquina B produce paquetes de lentejas con un peso medio de $1000$ gramos y una desviación típica de $8$ gramos. Utilizando el coeficiente de variación, determina qué máquina es comparativamente más precisa en su proceso de envasado.

Un conjunto estadístico formado por $10$ datos tiene una media aritmética de $5$ y una varianza de $2$. Si se añade a este conjunto un nuevo dato con valor $16$, calcula la nueva media aritmética y la nueva varianza de los $11$ datos resultantes.

En un instituto, la clase de 4ºA tiene $20$ alumnos con una nota media en estadística de $6$ y una varianza de $1,5$. La clase de 4ºB tiene $30$ alumnos con una nota media también de $6$ y una varianza de $2$. Si se agrupan los alumnos de ambas clases en un solo conjunto, ¿cuál será la varianza global de los $50$ alumnos?

La temperatura en una ciudad se ha medido diariamente en grados Celsius ($C$), obteniéndose una desviación típica de $5^\circ C$. Sabiendo que la relación matemática para convertir grados Celsius a grados Fahrenheit ($F$) es $F = \frac{9}{5}C + 32$, demuestra algebraicamente cuál será la varianza de las temperaturas si todas las mediciones se expresan en grados Fahrenheit y calcula su valor final.

Una variable estadística discreta toma los valores $0$, $1$ y $2$ con frecuencias absolutas $2$, $k$ y $2$, respectivamente. Sabiendo que la media aritmética de la distribución es $1$, plantea una ecuación para determinar el valor de la frecuencia $k$ de modo que la varianza de la distribución sea exactamente $0,5$.

Se ha realizado un estudio estadístico sobre una variable y se sabe que el tamaño de la muestra es $N$. Además, se han obtenido los siguientes valores agregados: $\sum x_i f_i = 40$ y $\sum x_i^2 f_i = 200$. Si la varianza de la distribución es $4$, determina el tamaño de la muestra $N$.

Observa los polígonos de frecuencias de las distribuciones A y B representadas en el siguiente gráfico. Ambas distribuciones tienen la misma media aritmética. ¿Cuál de las dos distribuciones presenta mayor desviación típica? Justifica tu respuesta analizando la concentración de los datos respecto a la media, sin necesidad de realizar cálculos numéricos.

Al calcular la varianza de un conjunto de $10$ datos se obtuvo un valor de $4$, siendo la media aritmética igual a $5$. Posteriormente, al revisar los registros, se descubrió que un dato cuyo valor real era $3$ se había anotado por error como $8$. Calcula la varianza correcta de la distribución tras subsanar el error.

Un inversor está analizando el riesgo de dos fondos de inversión. El fondo Alpha ha obtenido unas rentabilidades anuales del $2\%$, $4\%$, $6\%$ y $8\%$, todas con la misma frecuencia absoluta. El fondo Beta ha obtenido rentabilidades del $4\%$, $5\%$, $5\%$ y $6\%$. Calcula la desviación típica de cada fondo y explica, utilizando el coeficiente de variación, cuál de los dos asume un mayor riesgo relativo por cada unidad de rentabilidad obtenida.