Ejercicios: Diagramas de caja

Se han registrado las edades de 7 estudiantes de un taller de teatro: $12, 14, 15, 18, 20, 22, 25$.

Calcula el mínimo, el primer cuartil ($Q_1$), la mediana ($Me$), el tercer cuartil ($Q_3$) y el máximo. Determina también el rango intercuartílico ($IQR$).

Observa el siguiente diagrama de caja que representa los puntos anotados por un jugador de baloncesto en varios partidos.

Identifica los valores del resumen de los cinco números (mínimo, $Q_1$, mediana, $Q_3$, máximo) y calcula la amplitud de la caja (rango intercuartílico).

En un estudio sobre el peso de las mochilas escolares, se ha obtenido que el primer cuartil es $Q_1 = 4,5$ kg y el tercer cuartil es $Q_3 = 7,2$ kg.

Calcula el rango intercuartílico ($IQR$). Si el peso mínimo registrado es de $2$ kg, ¿cuál es la longitud del bigote izquierdo en el diagrama de caja?

Dada la siguiente lista de temperaturas en grados Celsius registradas durante 8 días, desordenadas: $15, 12, 19, 14, 18, 10, 21, 16$.

Ordena los datos de menor a mayor y calcula el resumen de los cinco números necesario para dibujar un diagrama de caja.

Responde a las siguientes preguntas conceptuales sobre un diagrama de caja:

• ¿Qué porcentaje aproximado de los datos se encuentra dentro de la caja (entre $Q_1$ y $Q_3$)?

• ¿Qué porcentaje de los datos se encuentra en cada uno de los bigotes (asumiendo que no hay valores atípicos)?

• Si la caja es muy estrecha, ¿qué indica sobre la dispersión de los datos centrales?

Un grupo de investigadores ha resumido la altura (en cm) de una población de plantas con los siguientes cinco números: Mínimo = $110$, $Q_1 = 125$, $Me = 135$, $Q_3 = 142$, Máximo = $160$.

Dibuja el diagrama de caja correspondiente en tu cuaderno indicando claramente la escala utilizada en el eje horizontal.

Se ha medido el tiempo (en minutos) que tardan 9 personas en resolver un rompecabezas: $10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 25, 30$.

Calcula la mediana y los cuartiles $Q_1$ y $Q_3$. ¿El valor $30$ se considera un valor atípico según la regla de $1,5 \cdot IQR$?

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando tu respuesta en cada caso:

• La línea que marca la mediana siempre se encuentra exactamente en el centro geométrico de la caja.

• Los dos bigotes de un diagrama de caja siempre tienen la misma longitud.

• El rango intercuartílico no se ve afectado por los valores extremos (máximo y mínimo).

El siguiente gráfico muestra los diagramas de caja de las pulsaciones por minuto en reposo de dos grupos de atletas, A (corredores de fondo) y B (levantadores de pesas).

A partir de la observación de los gráficos, responde:

• ¿Qué grupo tiene una mediana menor?

• ¿Qué grupo presenta una mayor dispersión en el $50\%$ central de sus datos?

• Calcula el rango intercuartílico de ambos grupos y compáralos.

Se ha preguntado a un grupo de familias por el número de mascotas que tienen, obteniendo la siguiente tabla de frecuencias:

• $0$ mascotas: $8$ familias

• $1$ mascota: $12$ familias

• $2$ mascotas: $10$ familias

• $3$ mascotas: $6$ familias

• $4$ mascotas: $4$ familias

Calcula los cuartiles $Q_1$, $Me$ y $Q_3$ a partir de las frecuencias acumuladas y describe detalladamente cómo sería el diagrama de caja correspondiente.

En una distribución estadística, el primer cuartil es $Q_1 = 40$ y el tercer cuartil es $Q_3 = 64$.

Calcula el rango intercuartílico ($IQR$). A continuación, determina los límites inferior y superior para identificar valores atípicos (utilizando la regla de $1,5 \cdot IQR$). ¿Sería el valor $105$ considerado un valor atípico? ¿Y el valor $3$?

En una clase de 32 alumnos, el diagrama de caja de las notas del examen final muestra que $Q_1 = 4$, $Me = 6$ y $Q_3 = 7,5$.

Sabiendo que no hay notas repetidas que coincidan exactamente con los cuartiles, ¿cuántos alumnos aproximadamente han sacado una nota igual o inferior a $4$? ¿Cuántos alumnos han sacado una nota entre $4$ y $7,5$?

La siguiente tabla muestra el tiempo (en horas) que un grupo de jóvenes dedica a la semana a jugar a videojuegos, agrupado en intervalos:

• $[0, 5)$: $10$ jóvenes

• $[5, 10)$: $25$ jóvenes

• $[10, 15)$: $30$ jóvenes

• $[15, 20)$: $15$ jóvenes

Calcula la posición de los cuartiles $Q_1$, $Me$ y $Q_3$ interpolando en las clases correspondientes.

Los salarios (en euros) de 5 empleados de una pequeña empresa son: $1100, 1200, 1300, 1500, 2500$.

Calcula el resumen de los cinco números. Si el empleado que cobra $2500$ € recibe un aumento de $500$ € (pasando a cobrar $3000$ €), ¿cómo afecta esto a la mediana y al rango intercuartílico? ¿Qué ventaja tiene el diagrama de caja frente a la media aritmética en este caso?

Un diagrama de caja tiene los siguientes valores: Mínimo = $10$, $Q_1 = 15$, $Me = 18$, $Q_3 = 35$, Máximo = $40$.

Analiza la asimetría de la distribución. ¿Está sesgada hacia la derecha o hacia la izquierda? Justifica tu respuesta comparando las distancias entre los cuartiles y la mediana.

Las notas de un examen sobre 10 puntos tienen el siguiente resumen: Mínimo = $3$, $Q_1 = 5$, $Me = 6$, $Q_3 = 8$, Máximo = $10$.

El profesor decide transformar las notas multiplicándolas por $0,8$ y sumándoles $2$ puntos. Calcula el nuevo resumen de los cinco números y el nuevo rango intercuartílico.

Ingeniería inversa. Crea un conjunto de datos formado por 7 números enteros que cumpla simultáneamente las siguientes condiciones para su diagrama de caja:

• Mínimo = $2$

• $Q_1 = 4$

• Mediana = $7$

• $Q_3 = 10$

• Máximo = $15$

Demuestra paso a paso que tu conjunto de datos cumple con los valores requeridos.

El siguiente histograma muestra la distribución de las edades de los visitantes a un museo durante una tarde.

A partir de las frecuencias representadas en el histograma, estima los intervalos en los que se encuentran el primer cuartil ($Q_1$), la mediana ($Me$) y el tercer cuartil ($Q_3$). Justifica tus cálculos utilizando las frecuencias acumuladas.

En una distribución estadística, los cuartiles vienen dados por expresiones algebraicas en función de un parámetro $x > 0$:

• $Q_1 = x$

• $Me = 2x + 1$

• $Q_3 = x^2 - 2$

Sabiendo que el rango intercuartílico ($IQR$) es igual a $10$, plantea una ecuación, resuelve para hallar el valor de $x$, y calcula los valores numéricos de $Q_1$, $Me$ y $Q_3$.

En un diagrama de caja, el bigote derecho es extremadamente largo en comparación con el bigote izquierdo y la caja. Por ejemplo: Mínimo = $10$, $Q_1 = 20$, $Me = 25$, $Q_3 = 35$, Máximo = $120$.

Razona y justifica matemáticamente si la media aritmética de esta distribución será mayor, menor o aproximadamente igual a la mediana. ¿Por qué ocurre esto?

Se tiene un conjunto de datos formado por 6 números: $4, 8, 10, 15, 20, y$.

Sabiendo que la mediana de este conjunto de datos es $12$, halla el valor desconocido de $y$. Una vez hallado, calcula el primer y tercer cuartil, y determina si existe algún valor atípico.

Demuestra con un contraejemplo que un diagrama de caja no es suficiente para identificar si una distribución es bimodal (es decir, si tiene dos modas o picos de frecuencia).

Para ello, inventa dos conjuntos de datos de 8 elementos cada uno: uno que sea claramente unimodal y otro que sea claramente bimodal, pero de tal forma que ambos tengan exactamente el mismo resumen de los cinco números (Mínimo, $Q_1$, $Me$, $Q_3$, Máximo).

Una empresa analiza el tiempo de vida (en horas) de dos marcas de bombillas, A y B. Ambas marcas tienen la misma mediana ($Me = 1000$ h) y el mismo rango intercuartílico ($IQR = 200$ h). Sin embargo, el rango total de la marca A es de $400$ h, mientras que el rango total de la marca B es de $1200$ h.

¿Qué información nos aporta esta diferencia en los rangos totales sobre la fiabilidad y la presencia de valores atípicos en ambas marcas? ¿Cuál de las dos marcas considerarías más predecible y por qué?

Se ha registrado el número de pulsaciones por minuto de 11 atletas tras una carrera: $110, 115, 120, 122, 125, 130, 135, 140, 145, 150, 200$.

Calcula el resumen de los cinco números e identifica si el valor $200$ es un valor atípico utilizando el criterio de $1,5 \cdot IQR$. Si eliminamos ese valor atípico del conjunto de datos, ¿cómo varían la media y la mediana? ¿Qué medida de centralización es más robusta frente a este cambio?