Ejercicios: Inecuaciones con dos incógnitas

Comprueba cuáles de los siguientes puntos son solución de la inecuación $3x - 2y \le 6$:

• $A(0, 0)$

• $B(4, 1)$

• $C(2, -1)$

• $D(-2, -5)$

Escribe la inecuación lineal con dos incógnitas cuya región solución está representada en la siguiente gráfica. Ten en cuenta si la línea de frontera es continua o discontinua.

Representa gráficamente en el plano cartesiano la región solución de la inecuación $x + 2y > 4$.

Determina si los puntos $P(1, 3)$, $Q(-1, 2)$ y $R(4, 0)$ pertenecen a la región factible definida por el siguiente sistema de inecuaciones:

$x + y \le 5$

$2x - y > -1$

Traduce el siguiente enunciado a una inecuación lineal con dos incógnitas: "El triple del peso de una caja grande ($x$) más el doble del peso de una caja pequeña ($y$) no supera los $50$ kg".

Representa gráficamente el sistema de inecuaciones que define el cuarto cuadrante del plano cartesiano (donde la abscisa es positiva o nula y la ordenada es negativa o nula).

Dada la inecuación $4x - 5y < 20$, indica razonadamente si los puntos situados exactamente sobre la recta $4x - 5y = 20$ forman parte de la región solución.

Escribe el sistema de inecuaciones cuya solución es la franja vertical comprendida entre $x = -2$ y $x = 3$, incluyendo ambas fronteras.

Para organizar una fiesta, se compran botellas de refresco a $2$ € cada una y bolsas de aperitivos a $3$ € cada una. Si el presupuesto máximo es de $30$ € y se desea comprar al menos una unidad de cada producto, plantea el sistema de inecuaciones correspondiente y da dos posibles combinaciones de compra válidas.

Encuentra el sistema de inecuaciones que define la región sombreada en la siguiente gráfica:

Representa gráficamente la región factible determinada por el siguiente sistema de inecuaciones:

$2x + y \le 6$

$x - y \ge -1$

$y \ge 0$

En un examen de $20$ preguntas, cada acierto suma $2$ puntos y cada error resta $1$ punto. Si para aprobar se necesita obtener al menos $15$ puntos, plantea la inecuación que relaciona el número de aciertos ($x$) y el número de errores ($y$). Teniendo en cuenta que $x \ge 0$, $y \ge 0$ y $x+y \le 20$, representa gráficamente la región de posibles combinaciones para aprobar.

Representa el siguiente sistema de inecuaciones y describe con palabras la forma geométrica de la región solución:

$3x - y > 2$

$3x - y < 6$

Un taller fabrica bicicletas y triciclos. Cada bicicleta requiere $2$ ruedas y cada triciclo $3$ ruedas. En el almacén quedan $60$ ruedas. Además, se sabe que el número de bicicletas fabricadas debe ser al menos el doble que el de triciclos. Plantea el sistema de inecuaciones que modeliza esta situación.

Halla los valores del parámetro $k$ para los cuales el punto $A(-1, 4)$ pertenece a la región solución de la inecuación $kx - 2y \le 3$.

Representa gráficamente la solución de la inecuación de segundo grado con dos incógnitas $y \ge x^2 - 4x + 3$.

Una empresa de transporte dispone de camiones de tipo A (capacidad de $3$ toneladas) y camiones de tipo B (capacidad de $5$ toneladas). Necesitan transportar al menos $45$ toneladas de mercancía. Por restricciones de personal, no pueden usar más de $12$ camiones en total. Plantea el sistema de inecuaciones y comprueba analíticamente si es posible realizar el transporte usando $4$ camiones del tipo A y $7$ del tipo B.

Determina el sistema de inecuaciones que define la región acotada mostrada en la siguiente figura:

Representa gráficamente la región del plano definida por el siguiente sistema mixto (una inecuación cuadrática y una lineal):

$y \le -x^2 + 2x + 3$

$x - y \le 1$

En una granja se crían gallinas y cerdos. Se sabe que el número máximo de animales que puede albergar la granja es de $100$. Además, por cuestiones de rentabilidad, la cantidad de cerdos no puede superar a la tercera parte de la cantidad de gallinas, y debe haber al menos $10$ cerdos. Plantea el sistema de inecuaciones y represéntalo gráficamente para encontrar la región de posibles combinaciones.

Dado el sistema de inecuaciones:

$x + 2y \le 8$

$ax - y \ge 1$

Calcula el valor del parámetro $a$ para que el punto $P(3, 2)$ sea un vértice de la región factible (es decir, se encuentre exactamente en la intersección de las dos rectas frontera).

Un agricultor quiere plantar tomates y pimientos en una parcela de $500 \text{ m}^2$. Por cada metro cuadrado de tomates necesita $4$ litros de agua a la semana, y por cada metro cuadrado de pimientos necesita $3$ litros. Dispone de un depósito que le proporciona como máximo $1800$ litros semanales. Si por motivos comerciales debe dedicar al menos $100 \text{ m}^2$ a los tomates y al menos $50 \text{ m}^2$ a los pimientos, plantea el sistema de inecuaciones y averigua si puede plantar $250 \text{ m}^2$ de cada hortaliza.

Escribe un sistema de inecuaciones cuya solución sea un cuadrado perfecto centrado en el origen de coordenadas, de lado $4$ unidades, con sus lados paralelos a los ejes cartesianos, y donde los puntos de los bordes estén incluidos.

Resuelve gráficamente el siguiente sistema y encuentra analíticamente las coordenadas de los vértices de la región factible:

$y \le 2x + 2$

$y \le -x + 5$

$y \ge 1$