Ejercicios: Resolución de sistemas de ecuaciones

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución:

$\begin{cases} 3x - y = 5 \\ 2x + 3y = 18 \end{cases}$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones empleando el método de igualación:

$\begin{cases} x + 4y = 1 \\ x - 2y = 13 \end{cases}$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método de reducción:

$\begin{cases} 5x + 2y = 11 \\ 3x - 2y = 5 \end{cases}$

Simplifica los paréntesis y resuelve el siguiente sistema lineal:

$\begin{cases} 2(x + 1) - 3(y - 2) = 16 \\ 5x + y = 3 \end{cases}$

Resuelve el siguiente sistema no lineal, formado por la ecuación de una parábola y una recta:

$\begin{cases} y = x^2 - 4x + 3 \\ y = x - 1 \end{cases}$

Halla todas las soluciones reales del siguiente sistema de ecuaciones de segundo grado:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x^2 - y^2 = 7 \end{cases}$

Resuelve el siguiente sistema escalonado de tres ecuaciones con tres incógnitas:

$\begin{cases} 2x - y + 3z = 14 \\ 5y - 2z = -3 \\ 4z = 16 \end{cases}$

La suma de dos números es $45$ y su diferencia es $11$. Plantea un sistema de ecuaciones lineales y halla dichos números.

Resuelve el siguiente sistema lineal operando previamente con los denominadores para obtener ecuaciones equivalentes más sencillas:

$\begin{cases} \frac{x - 1}{3} + \frac{y + 2}{4} = 3 \\ \frac{2x + y}{7} - \frac{x - y}{2} = 3 \end{cases}$

Halla los puntos de intersección entre la hipérbola y la recta dadas por el siguiente sistema no lineal:

$\begin{cases} x \cdot y = 12 \\ 2x + y = 10 \end{cases}$

Resuelve el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando el método de Gauss o por sustitución sucesiva:

$\begin{cases} x + 2y - z = 2 \\ 2x - y + 3z = 9 \\ 3x + y + z = 8 \end{cases}$

Encuentra las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones irracionales:

$\begin{cases} x - y = 5 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \end{cases}$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales:

$\begin{cases} 2^x + 3^y = 17 \\ 2^{x+1} - 3^{y-1} = 13 \end{cases}$

Un abuelo dice a su nieto: "Hace $5$ años, mi edad era el quíntuple de la tuya, pero dentro de $10$ años solo será el doble". Plantea un sistema de ecuaciones lineales y determina la edad actual de cada uno.

El perímetro de una parcela rectangular mide $140$ metros. Si la base disminuyera en $5$ metros y la altura aumentara en $5$ metros, la parcela se convertiría en un cuadrado. Calcula las dimensiones actuales de la parcela.

En un laboratorio químico se han mezclado dos soluciones ácidas. La primera tiene una concentración del $20\%$ y la segunda del $50\%$. Si se desean obtener $60$ litros de una nueva solución al $30\%$, ¿cuántos litros de cada tipo se deben mezclar?

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones con fracciones algebraicas aplicando un cambio de variable adecuado:

$\begin{cases} \frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 2 \\ \frac{4}{x} - \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \end{cases}$

Halla la solución del siguiente sistema de ecuaciones logarítmicas:

$\begin{cases} \log(x) + \log(y) = 2 \\ x - 4y = 0 \end{cases}$

Resuelve el siguiente sistema exponencial:

$\begin{cases} 3^x + 2^y = 17 \\ 3^{x+1} - 2^{y+2} = -5 \end{cases}$

Una empresa de transportes tiene tres tipos de furgonetas: A, B y C. La furgoneta A puede transportar $2$ toneladas, la B $3$ toneladas y la C $5$ toneladas. Cierto día se utilizaron $12$ furgonetas en total para transportar $38$ toneladas de mercancía. Si el número de furgonetas del tipo A usadas es igual a la suma de las furgonetas de los tipos B y C, plantea y resuelve un sistema de tres ecuaciones para saber cuántas furgonetas de cada tipo se utilizaron.

Resuelve el siguiente sistema no lineal simétrico:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 58 \\ x \cdot y = 21 \end{cases}$

Dos ciclistas parten al mismo tiempo desde dos ciudades, A y B, separadas por $90$ km, y van a su encuentro. Si viajan a velocidades constantes, se cruzan al cabo de $3$ horas. Si el ciclista que parte de A hubiera salido una hora antes que el de B, se habrían encontrado $2$ horas y $40$ minutos después de la salida del ciclista de B. ¿A qué velocidad circula cada ciclista?

Determina el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema lineal sea incompatible, y justifica la posición relativa que tendrían las dos rectas que lo forman en el plano cartesiano:

$\begin{cases} 3x - (k+1)y = 5 \\ 6x - 8y = 12 \end{cases}$

Un estadio de atletismo tiene una pista formada por un rectángulo central y dos semicírculos en los extremos. El perímetro total de la línea interior de la pista es de $400$ metros y el área del rectángulo central es de $5600$ metros cuadrados. Plantea un sistema de ecuaciones no lineales para hallar el radio $R$ de los semicírculos y la longitud $L$ del tramo recto. Toma $\pi \approx 3$.