Ejercicios: Resolución de problemas mediante sistemas

La suma de las edades de Marta y su abuelo es $72$ años. Hace $6$ años, la edad del abuelo era el quíntuple de la edad de Marta. Plantea un sistema de ecuaciones y halla las edades actuales de ambos.

La diferencia entre dos números es $14$. Si al número mayor le sumamos el doble del menor, el resultado es $53$. Encuentra ambos números planteando un sistema de ecuaciones.

En una papelería, $3$ cuadernos y $2$ bolígrafos cuestan $12$ euros, mientras que $4$ cuadernos y $1$ bolígrafo cuestan $13,50$ euros. ¿Cuál es el precio de un cuaderno y el de un bolígrafo?

El perímetro de un rectángulo mide $54 \text{ cm}$. Se sabe que la base es $3 \text{ cm}$ mayor que el doble de la altura. Determina las dimensiones del rectángulo.

En un aparcamiento hay motocicletas y coches. En total se cuentan $35$ vehículos y $114$ ruedas (sin contar las de repuesto). Calcula cuántas motocicletas y cuántos coches hay en el aparcamiento.

Una hucha contiene $45$ monedas que suman un total de $14,40$ euros. Si todas las monedas son de $20 \text{ céntimos}$ y de $50 \text{ céntimos}$, averigua cuántas monedas hay de cada tipo.

En un examen tipo test de $30$ preguntas, se otorgan $5$ puntos por cada respuesta correcta y se restan $2$ puntos por cada respuesta incorrecta o en blanco. Un estudiante ha obtenido $94$ puntos. ¿Cuántas preguntas ha respondido correctamente?

Un comerciante quiere preparar $50 \text{ kg}$ de una mezcla de café. Utiliza un café de $6 \text{ €/kg}$ y otro de $8 \text{ €/kg}$. Si desea que el precio de la mezcla sea exactamente $7,20 \text{ €/kg}$, ¿cuántos kilos de cada tipo de café debe utilizar?

La suma de las cifras de un número de dos cifras es $12$. Si invertimos el orden de sus cifras, obtenemos un nuevo número que es $18$ unidades mayor que el número original. ¿De qué número se trata?

Un arquitecto diseña una habitación rectangular cuya área debe ser de $108 \text{ m}^2$. Además, para ajustarse al presupuesto de los rodapiés, el perímetro de la habitación debe ser exactamente de $42 \text{ m}$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula las dimensiones de la habitación.

Si al numerador y al denominador de una fracción se les suma $2$, la fracción resultante es equivalente a $\frac{2}{3}$. Si, en cambio, se les resta $1$ a ambos, la fracción es equivalente a $\frac{1}{2}$. Halla la fracción original.

Una inversora reparte un capital de $20\,000 \text{ €}$ en dos fondos de inversión. El primero ofrece una rentabilidad anual del $4\%$ y el segundo del $6\%$. Al cabo de un año, los beneficios totales de ambos fondos ascienden a $1\,050 \text{ €}$. ¿Qué cantidad invirtió en cada fondo?

En una frutería, $1 \text{ kg}$ de manzanas, $2 \text{ kg}$ de peras y $1 \text{ kg}$ de plátanos cuestan $8,50 \text{ €}$. Además, $2 \text{ kg}$ de manzanas y $1 \text{ kg}$ de peras cuestan $6 \text{ €}$. Si el precio de $1 \text{ kg}$ de plátanos es igual al precio de $1 \text{ kg}$ de manzanas más $1 \text{ kg}$ de peras, ¿cuál es el precio de cada tipo de fruta?

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide $25 \text{ cm}$ y la suma de sus catetos es $35 \text{ cm}$. Plantea un sistema de ecuaciones no lineales para determinar la longitud de cada cateto.

Un depósito puede llenarse mediante dos grifos, A y B. Si se abren ambos a la vez, el depósito se llena en $6$ horas. Se sabe que el grifo A, por sí solo, tarda $5$ horas menos que el grifo B en llenar el depósito completo. Plantea un sistema de ecuaciones y halla cuánto tiempo tardaría cada grifo en llenarlo por separado.

Las áreas de tres de las caras de un prisma recto de base rectangular (ortoedro) que concurren en un mismo vértice son $24 \text{ cm}^2$, $32 \text{ cm}^2$ y $48 \text{ cm}^2$. Plantea un sistema de ecuaciones con las dimensiones de sus aristas y calcula el volumen del prisma.

Un número está formado por tres cifras que suman $18$. La cifra de las centenas es igual a la suma de las cifras de las decenas y las unidades. Si se invierte el orden de las cifras, el número resultante es $396$ unidades menor que el número original. Determina de qué número se trata.

Un orfebre dispone de dos aleaciones de oro. La primera contiene un $80\%$ de oro y la segunda un $60\%$ de oro. Quiere fundir partes de ambas para obtener $50 \text{ gramos}$ de una nueva aleación que tenga un $75\%$ de oro. ¿Cuántos gramos de cada aleación debe utilizar?

El área de un rombo es de $120 \text{ cm}^2$ y la suma de sus diagonales es $34 \text{ cm}$. Plantea un sistema de ecuaciones no lineales para encontrar la longitud de las diagonales y, posteriormente, calcula el perímetro del rombo.

Tres trabajadores, Alba, Bernat y Carlos, deben pintar un edificio. Si trabajan Alba y Bernat juntos, tardan $12$ días. Si trabajan Bernat y Carlos juntos, tardan $20$ días. Si trabajan Alba y Carlos juntos, tardan $15$ días. Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar cuánto tiempo tardaría cada uno trabajando solo. (Sugerencia: usa como incógnitas la fracción de obra que hace cada uno en un día).

Un agricultor quiere vallar un terreno rectangular. Dispone de $100 \text{ m}$ de valla para el perímetro. Sabiendo que uno de los lados del terreno debe medir al menos $15 \text{ m}$ y que el área del terreno debe ser estrictamente mayor que $600 \text{ m}^2$, plantea un sistema de inecuaciones para la medida de la base y la altura, y determina entre qué valores puede oscilar la medida del lado mayor.

Un ciclista sale de la ciudad A hacia la ciudad B a una velocidad constante. Una hora más tarde, un motorista sale de A en su persecución a una velocidad que es $15 \text{ km/h}$ superior a la del ciclista, y lo alcanza justo al llegar a B. Si la distancia entre A y B es de $60 \text{ km}$, plantea un sistema de ecuaciones para hallar las velocidades de ambos y el tiempo que tardó el ciclista en hacer el recorrido.