Ejercicios: Ecuaciones lineales con dos incógnitas

Comprueba si los pares de valores $(1, 2)$, $(3, -1)$ y $(0, 4)$ son solución de la ecuación lineal $3x + 2y = 7$.

Dada la ecuación lineal con dos incógnitas $5x - 2y = 10$, despeja la incógnita $y$ en función de $x$.

Encuentra tres soluciones distintas para la ecuación lineal $-2x + 4y = 8$.

Averigua el valor que debe tener el coeficiente $c$ para que el par de valores $(-2, 5)$ sea solución de la ecuación $4x - 3y = c$.

Traduce al lenguaje algebraico mediante una ecuación lineal con dos incógnitas el siguiente enunciado: "El precio de tres entradas de cine de adulto más el precio de dos entradas infantiles suma un total de 34 euros".

Indica razonadamente cuáles de las siguientes ecuaciones son ecuaciones lineales con dos incógnitas:

• a) $x^2 + y = 7$

• b) $3x - \frac{y}{4} = 1$

• c) $x \cdot y = 12$

• d) $-x + 6y = 0$

Dada la ecuación $7x + 3y = 21$, halla el valor de $y$ cuando $x = 0$, y el valor de $x$ cuando $y = 0$.

Escribe dos ecuaciones que sean equivalentes a $6x - 9y = 15$, obteniendo una de ellas al multiplicar todos sus términos por un número entero y la otra al dividirlos.

En la ecuación lineal $4x - y = 18$, encuentra la solución en la que ambas incógnitas tienen exactamente el mismo valor (es decir, $x = y$).

Un examen consta de preguntas tipo test que suman 2 puntos cada una y problemas a desarrollar que suman 5 puntos cada uno. Plantea una ecuación lineal que relacione el número de preguntas de cada tipo para obtener una puntuación máxima de 40 puntos. Encuentra una solución en la que el número de preguntas tipo test sea exactamente el quíntuple que el de problemas.

Encuentra una ecuación lineal de la forma $ax + by = c$ que tenga como soluciones los pares de valores $(2, 3)$ y $(4, -1)$.

Observa la recta representada en el siguiente plano cartesiano.

Determina la ecuación lineal con dos incógnitas que corresponde a dicha recta, expresándola en la forma $ax + by = c$ con coeficientes enteros. A partir de la ecuación obtenida, halla el valor de $y$ cuando $x = 12$.

Una empresa de alquiler de bicicletas cobra una tarifa fija por el seguro más un importe por cada hora de uso. Si alquilar una bicicleta durante 3 horas cuesta 14 euros y durante 5 horas cuesta 22 euros, plantea una ecuación lineal que relacione el coste total ($y$) con las horas de uso ($x$). ¿Cuál es el valor de la tarifa fija?

Dada la ecuación lineal con coeficientes fraccionarios $\frac{x - 1}{2} + \frac{2y + 3}{5} = 1$, exprésala en su forma general $ax + by = c$ eliminando los denominadores. Después, encuentra una solución en la que $x$ sea un número entero negativo.

Calcula el área del triángulo que forma la representación gráfica de la ecuación $8x + 5y = 40$ al cortar a los ejes de coordenadas $X$ e $Y$.

Determina el valor de los coeficientes $a$ y $b$ de la ecuación lineal $ax + by = 12$ sabiendo que la recta pasa por el punto $(2, -1)$ y que, al despejar la incógnita $y$, la pendiente de la recta resultante es $4$.

En la siguiente figura se muestran tres rectas correspondientes a tres ecuaciones lineales con dos incógnitas de la forma $ax + by = c$.

Relaciona cada recta (A, B y C) con una de las siguientes condiciones sobre sus coeficientes, justificando matemáticamente tu respuesta:

• Condición 1: $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$

• Condición 2: $a > 0$, $b < 0$, $c = 0$

• Condición 3: $a = 0$, $b > 0$, $c > 0$

En una tienda de electrónica se venden memorias USB a 14 € y tarjetas SD a 9 €. Un centro educativo ha gastado exactamente 195 € en estos dispositivos. Escribe la ecuación lineal correspondiente y halla TODAS las posibles combinaciones de memorias y tarjetas que han podido comprar, sabiendo que han adquirido al menos una de cada tipo.

Demuestra razonadamente que la ecuación lineal $15x + 21y = 43$ no puede tener ninguna solución en la que $x$ e $y$ sean ambos números enteros. (Pista: fíjate en la divisibilidad de los coeficientes).

Dos bombas de agua llenan un depósito. La primera vierte $x$ litros por minuto y la segunda $y$ litros por minuto. Si abrimos la primera durante 12 minutos y la segunda durante 18 minutos, el depósito recibe 420 litros. Si abrimos ambas simultáneamente durante 15 minutos, el depósito recibe 375 litros. Plantea una ecuación lineal para cada situación, simplifícalas y determina si representan ecuaciones equivalentes.

La relación entre la temperatura en grados Celsius ($C$) y grados Fahrenheit ($F$) viene dada por una ecuación lineal con dos incógnitas. Sabiendo que el agua se congela a $0^\circ \text{C}$ (que equivale a $32^\circ \text{F}$) y hierve a $100^\circ \text{C}$ (que equivale a $212^\circ \text{F}$), halla la ecuación general que las relaciona. ¿Existe alguna temperatura en la que ambas escalas marquen exactamente el mismo valor numérico? Si es así, calcúlala.

Dada la ecuación lineal paramétrica $(k-1)x + (k+2)y = 3k$, encuentra el valor del parámetro $k$ para que la recta correspondiente sea paralela al eje de ordenadas ($Y$). Para ese valor de $k$, ¿cuál es la ecuación resultante y qué particularidad tienen todas sus soluciones?

Un agricultor quiere envasar exactamente 173 litros de aceite de oliva utilizando garrafas de 5 litros y botellas de 3 litros. Expresa esta situación mediante una ecuación lineal con dos incógnitas. Si quiere utilizar el menor número total de recipientes posible sin que sobre ni falte aceite, ¿cuántos recipientes de cada tipo deberá usar?

Considera la ecuación lineal $ax + by = c$ con coeficientes enteros. Si sabemos que el punto $(p, q)$ es una solución entera de la ecuación (es decir, $a \cdot p + b \cdot q = c$), demuestra algebraicamente que cualquier punto de la forma $(p + n \cdot b, q - n \cdot a)$, donde $n$ es un número entero cualquiera, también es una solución de la ecuación.