Ejercicios: Polinomios

Calcula el valor numérico del polinomio $P(x, y) = 3x^2y - 5xy^2 + 2x - 3y + 1$ para $x = -2$ e $y = 3$.

Dados los polinomios $A(x) = 4x^3 - 2x^2 + 5x - 1$ y $B(x) = -x^3 + 3x^2 - 2x + 4$, calcula la expresión reducida de $2 \cdot A(x) - 3 \cdot B(x)$.

Efectúa el siguiente producto de polinomios y reduce los términos semejantes para obtener el polinomio final: $(2x^2 - 3x + 4) \cdot (x^2 + 5x - 2)$.

Realiza la división del polinomio $P(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 5x + 7$ entre $Q(x) = x^2 - x + 2$, indicando claramente cuál es el polinomio cociente $C(x)$ y el polinomio resto $R(x)$.

Utiliza la regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto de la división $(2x^4 - 5x^3 + 4x - 6) : (x - 2)$.

Sin realizar la división, determina el resto que se obtiene al dividir el polinomio $P(x) = 3x^5 - 2x^3 + x^2 - 4$ entre $x + 1$.

Comprueba, utilizando el teorema del factor, si $x = -3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6$.

Extrae el factor común y utiliza las identidades notables para factorizar al máximo el polinomio $P(x) = 5x^3 - 30x^2 + 45x$.

La base de un panel solar rectangular mide $2x + 5$ metros y su altura mide $3x - 2$ metros. Escribe las expresiones algebraicas (polinomios reducidos) que representan el perímetro y el área del panel solar.

Determina el valor del parámetro $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 + kx + 8$ sea divisible entre $x - 4$.

Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una lámina de cartón rectangular de $40$ cm de largo por $30$ cm de ancho, recortando un cuadrado de lado $x$ en cada esquina y doblando las solapas. Expresa el volumen de la caja como un polinomio en función de $x$ y determina su grado.

Dados los polinomios $P(x) = x^2 - 4$, $Q(x) = x + 2$ y $R(x) = 3x^2 - x + 1$, calcula y simplifica la expresión algebraica resultante de $\frac{P(x)}{Q(x)} \cdot R(x)$.

Factoriza completamente el polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 - 11x + 30$ sabiendo que una de sus raíces enteras se encuentra entre los divisores positivos de $30$.

La altura $h$ (en metros) de un dron en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por el polinomio $h(t) = -2t^2 + 12t + c$. Si a los $3$ segundos el dron se encuentra a $25$ metros de altura, calcula el valor de $c$ y determina la altura inicial desde la que despegó.

Simplifica la siguiente fracción algebraica factorizando previamente el numerador y el denominador: $\frac{2x^2 - 8}{x^2 - 4x + 4}$.

Una empresa de tecnología estima que sus ingresos mensuales (en miles de euros) vienen dados por el polinomio $I(x) = -2x^2 + 50x$, y sus costes de producción por $C(x) = 10x + 150$, donde $x$ es la cantidad de dispositivos fabricados (en cientos). Obtén el polinomio que representa el beneficio mensual $B(x)$ y calcula el beneficio exacto si se fabrican $1000$ dispositivos.

Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 5x + 6$ sea divisible simultáneamente por $(x - 1)$ y por $(x + 2)$.

En el diseño de una pieza mecánica, se inscribe un cilindro recto dentro de un cono de radio base $R = 10$ cm y altura $H = 15$ cm. Si el radio de la base del cilindro es $x$, expresa el volumen del cilindro como un polinomio en función de $x$. ¿Cuál es el dominio geométrico válido para la variable $x$?

Realiza las siguientes operaciones con fracciones algebraicas y simplifica el resultado al máximo: $\left( \frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x - 2}{x + 2} \right) : \frac{4x}{x^2 - 4}$.

Un polinomio $P(x)$ de tercer grado tiene como raíces $x = 1$, $x = -2$ y $x = 3$. Sabiendo que al dividir $P(x)$ entre $x + 1$ el resto de la división es $24$, determina la expresión general desarrollada del polinomio $P(x)$.

Demuestra algebraicamente que la diferencia entre el cuadrado de la suma de dos números cualesquiera $a$ y $b$, y el cuadrado de su diferencia, es siempre igual a cuatro veces el producto de dichos números.

Factoriza el polinomio de cuarto grado $P(x) = x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12$ utilizando la regla de Ruffini y la resolución de ecuaciones de segundo grado. Indica claramente todas sus raíces.

El coste de fabricación de un cable de fibra óptica de longitud $x$ metros viene dado por un polinomio de segundo grado $C(x) = ax^2 + bx + c$. Sabiendo que fabricar $10$ metros cuesta $150$ €, $20$ metros cuestan $380$ € y los costes fijos (fabricar $0$ metros) son de $40$ €, determina la expresión del polinomio $C(x)$ y calcula el coste exacto de fabricar $50$ metros.

En un proyecto de arquitectura se modela la forma de un arco parabólico mediante el polinomio $A(x) = -kx^2 + 6x$. Sabiendo que el arco tiene una altura máxima en su vértice y que el polinomio es divisible por $x - 12$, halla el valor de $k$, factoriza el polinomio y determina la anchura total del arco en la base (la distancia entre los puntos donde $A(x) = 0$).