Ejercicios: Operaciones con polinomios

Dados los polinomios $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 1$ y $Q(x) = -x^3 + 4x^2 - 5x + 3$, calcula las expresiones resultantes de las operaciones $P(x) + Q(x)$ y $P(x) - Q(x)$.

Efectúa la multiplicación del monomio $-4x^2$ por el polinomio $2x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 3x - 5$ y ordena el resultado de mayor a menor grado.

Calcula el producto de los siguientes polinomios y reduce los términos semejantes: $(2x - 3) \cdot (x^2 + 4x - 1)$.

Desarrolla la siguiente expresión aplicando la fórmula de las identidades notables para el cuadrado de una suma: $(3x + 5y)^2$.

Aplica la identidad notable correspondiente para desarrollar el cuadrado de esta diferencia: $(\frac{1}{2}x^2 - 4)^2$.

Calcula el resultado de la siguiente operación utilizando la identidad notable de suma por diferencia: $(7a + 2b) \cdot (7a - 2b)$.

Suma los polinomios $A(x) = x^2 - 3x + 2$ y $B(x) = 2x^2 + x - 5$. Una vez obtenido el polinomio resultante, calcula su valor numérico para $x = -2$.

Al multiplicar el polinomio $A(x) = 5x^4 - 3x + 2$ por el polinomio $B(x) = -2x^3 + x^2$, indica cuál será el grado del polinomio resultante y el valor de su coeficiente principal, sin necesidad de realizar toda la multiplicación completa.

Un jardín rectangular tiene unas dimensiones que dependen de un valor $x$. Su largo es $3x + 2$ metros y su ancho es $x + 5$ metros. Expresa el área total del jardín mediante un polinomio en $x$ y calcula cuántos metros cuadrados tendrá si $x = 4$.

Una caja sin tapa se construye a partir de una lámina de cartón rectangular de $30 \text{ cm}$ de largo por $20 \text{ cm}$ de ancho. Para ello, se recortan cuatro cuadrados idénticos de lado $x$ en las esquinas y se doblan las solapas hacia arriba. Expresa el volumen de la caja resultante como un polinomio en la variable $x$.

Una fábrica de componentes electrónicos asume unos costes fijos mensuales de $500$ euros. Además, el coste de producción por cada lote de piezas es de $40 - 2x$ euros, donde $x$ representa el número de lotes. Si en un mes se producen exactamente $x^2 + 5x$ lotes, expresa el coste total mensual de la fábrica mediante un polinomio en $x$.

Desarrolla y simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica aplicando las identidades notables correspondientes:

$(2x + 3)^2 - (2x - 3)^2 + (x - 1) \cdot (x + 1)$

Dados los polinomios $A(x) = x^3 - 4x^2 + x - 1$ y $B(x) = 2x^3 + x^2 - 5$, determina la expresión de un polinomio desconocido $P(x)$ que cumpla la siguiente igualdad:

$2 \cdot A(x) - P(x) = B(x)$

Al efectuar la multiplicación de los polinomios $P(x) = x^2 + kx - 3$ y $Q(x) = 2x^2 - 5x + 1$, se observa que el coeficiente del término de grado $2$ del polinomio resultante es $-13$. Plantea la ecuación correspondiente y determina el valor del parámetro $k$.

En un experimento de física, la altura en metros de un proyectil $A$ viene dada por el polinomio $H(t) = -5t^2 + 20t + 2$, y la de un proyectil $B$ por $G(t) = -5t^2 + 15t + 10$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en segundos. Encuentra el polinomio que expresa la diferencia de alturas entre el proyectil $A$ y el $B$, y determina en qué instante exacto ambos proyectiles se encuentran a la misma altura.

Observa la siguiente figura que representa un cuadrado de lado $a+b$ subdividido en cuatro regiones rectangulares. Escribe la suma de las áreas de las cuatro regiones y demuestra de forma geométrica el desarrollo de la identidad notable $(a+b)^2$.

Encuentra todos los valores posibles para los parámetros $a$, $b$ y $c$ de modo que la siguiente igualdad polinómica se cumpla para cualquier número real $x$:

$(ax + b)^2 + cx = 9x^2 - 24x + 16$

En una placa metálica rectangular cuyas dimensiones son $4x + 6$ y $2x - 1$ milímetros, se perforan tres agujeros circulares idénticos de radio $r = x$. Expresa el área de la placa metálica resultante, una vez hechos los agujeros, como un polinomio en $x$ (deja el número $\pi$ indicado en los coeficientes que lo requieran).

Demuestra algebraicamente que el producto de la suma de dos variables por su diferencia, multiplicado por la suma de los cuadrados de esas mismas variables, es igual a la diferencia de sus cuartas potencias. Para ello, desarrolla y simplifica paso a paso la expresión: $(x - y) \cdot (x + y) \cdot (x^2 + y^2)$.

Una empresa de software estima que si vende su nueva aplicación a un precio de $p(x) = 120 - x$ euros, logrará vender una cantidad de $q(x) = 500 + 10x$ licencias. Sabiendo que los ingresos totales se calculan multiplicando el precio por la cantidad vendida, y que los costes fijos y variables de la empresa ascienden a $C(x) = 2000 + 50x$ euros, obtén el polinomio de beneficios $B(x)$ en su forma más reducida.

Considera el polinomio $P(x) = (2x^2 - 3x + 2)^3 \cdot (x^2 - x + 1)^2$. Sabiendo que la suma de todos los coeficientes de un polinomio (incluido el término independiente) se puede obtener evaluando dicho polinomio en $x = 1$, calcula la suma exacta de los coeficientes del polinomio resultante que se obtendría al desarrollar por completo la expresión de $P(x)$.

El polinomio $M(x) = x^4 - 2x^3 + ax^2 + bx + c$ es el resultado exacto de elevar al cuadrado el polinomio $N(x) = x^2 - x - 3$. Efectúa la operación $N(x)^2$, agrupa los términos del mismo grado y determina los valores numéricos correspondientes a los parámetros $a$, $b$ y $c$.

Un cilindro macizo de radio $r = x+1$ y altura $h = 3x$ se introduce verticalmente dentro de un prisma hueco de base cuadrada, cuyo lado de la base mide $L = 2x+2$ y tiene la misma altura $3x$. Expresa mediante un polinomio en $x$ el volumen del espacio que queda libre entre el cilindro y las paredes del prisma.

Un mago pide a un espectador que piense un número cualquiera $x$. A continuación, le da las siguientes instrucciones: "Súmale 3 a tu número, eleva el resultado al cuadrado, réstale el cuadrado del número original, réstale 9 y finalmente divide todo lo que te quede entre 6". Demuestra paso a paso, utilizando operaciones con polinomios, que el resultado final de este truco siempre es exactamente el número original $x$ que pensó el espectador.