Ejercicios: Monomios

Identifica el coeficiente, la parte literal y el grado del monomio $-\frac{3}{5}x^2y^3z$.

Realiza la siguiente suma y resta de monomios semejantes y simplifica el resultado:

$7a^2b - 3a^2b + \frac{1}{2}a^2b$

Multiplica los siguientes monomios y expresa el resultado de la forma más simplificada posible:

$(-4x^3y) \cdot (5xy^4)$

Divide los siguientes monomios indicando claramente el coeficiente y la parte literal del resultado:

$\frac{18p^5q^3}{3p^2q}$

Calcula la potencia del siguiente monomio aplicando las propiedades de las potencias:

$(-2m^3n^4)^5$

Halla el valor numérico del monomio $M(x,y) = 4x^2y^3$ para los valores $x = -2$ e $y = 3$.

Escribe el monomio que representa matemáticamente el siguiente enunciado: "La mitad del producto del cuadrado de un número por el cubo de otro número distinto".

Comprueba si los monomios $A = 5x^2y$ y $B = -2yx^2$ son semejantes. En caso afirmativo, calcula su suma $A + B$ y su diferencia $A - B$.

Una piscina tiene forma de prisma rectangular con las dimensiones mostradas en la figura. Expresa el volumen de la piscina como un monomio. A continuación, calcula la cantidad de agua (en litros) que contiene cuando está totalmente llena si $x = 3$ metros. (Recuerda que $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ litros}$).

La energía cinética de un objeto en movimiento se calcula mediante la expresión $E_c = \frac{1}{2}mv^2$. Si la masa de una partícula viene dada por el monomio $m = 4t^2$ kg y su velocidad es $v = 3t^3$ m/s, expresa su energía cinética como un monomio simplificado en función del tiempo $t$.

Una empresa tecnológica determina que el coste de fabricar un componente electrónico viene dado por el monomio $C(x) = 1,5x^3$ euros, donde $x$ es el número de lotes producidos. Si los ingresos obtenidos por vender esos lotes se expresan mediante el monomio $I(x) = 4,2x^3$ euros, escribe el monomio que representa el beneficio $B(x)$ y calcula dicho beneficio si se producen $x = 10$ lotes.

Simplifica la siguiente expresión combinada de monomios, realizando primero el producto del numerador y luego la división:

$\frac{(3a^2b^3) \cdot (-4a^4b)}{6a^3b^2}$

Realiza la siguiente operación combinada respetando la jerarquía de las operaciones y agrupa los términos semejantes:

$(2x^2y)^3 - 5x^6y^3 + (-x^2y)^3$

Halla el monomio $M(x)$ que falta para que la siguiente igualdad sea cierta, justificando los pasos seguidos:

$M(x) \cdot (7x^4) = -35x^9$

El grado absoluto del monomio $P(x,y) = -8x^{2m}y^{m+1}$ es $13$. Plantea una ecuación de primer grado, encuentra el valor del parámetro $m$ y escribe la expresión final del monomio.

Un marco de fotos tiene forma de corona circular. Si el radio exterior es $R = 5x$ y el radio interior es $r = 3x$, expresa el área total del marco como un monomio en función de $x$. (Deja el resultado en función del número $\pi$).

Se introduce una esfera de radio $r = x^2$ dentro de un cilindro de radio base $R = x^2$ y altura $h = 2x^2$, de forma que la esfera encaja perfectamente. Expresa el volumen del espacio vacío que queda entre el cilindro y la esfera como un monomio simplificado en función de $x$ y $\pi$.

Dados los monomios $A = k \cdot x^a y^5$ y $B = 4x^2 y^b$, se sabe que su producto es el monomio $M = -12x^7 y^8$. Determina los valores numéricos de los parámetros $k$, $a$ y $b$. Una vez hallados, calcula el valor numérico del monomio que resulta de la división $\frac{A}{B}$ para $x = -1$ e $y = 2$.

La fuerza de atracción gravitatoria entre dos cuerpos viene dada por $F = G \frac{m_1 m_2}{d^2}$. Expresa la fuerza $F$ como un monomio en función de $x$ sabiendo que $m_1 = 5 \cdot 10^5 x^3$, $m_2 = 2 \cdot 10^4 x^2$ y la distancia que los separa es $d = 10^2 x$. Simplifica el coeficiente utilizando notación científica.

Demuestra algebraicamente que si al cuadrado del monomio $3x^n y^m$ se le resta el producto de los monomios $5x^{n+1} y^{m-1}$ y $x^{n-1} y^{m+1}$, el resultado siempre es un monomio semejante a $x^{2n} y^{2m}$. Determina cuál es exactamente ese monomio resultante.

Encuentra un monomio $M(a,b)$ que satisfaga la siguiente ecuación algebraica, detallando el proceso de resolución:

$\frac{(M(a,b))^3}{2a^4b} = -32a^5b^8$

Se quiere construir un depósito abierto por arriba con forma de prisma recto de base cuadrada. El lado de la base mide $3x^2$ metros y la altura mide $\frac{1}{2}x$ metros. Expresa la superficie total de chapa necesaria para construirlo (sin la tapa superior) como un monomio. A continuación, calcula el valor numérico de dicha superficie si se sabe que el volumen del depósito es de $144$ metros cúbicos.

El monomio $A = \sqrt{18} x^3 y^4$ se multiplica por el monomio $B = \sqrt{2} x^5 y^2$. Expresa el producto $A \cdot B$ como un monomio simplificado extrayendo raíces si es posible. A continuación, encuentra un monomio $C$ tal que al efectuar la división $\frac{A \cdot B}{C}$ el resultado sea exactamente $3x^2 y$.

En un estudio de dinámica de fluidos, el caudal $Q$ que atraviesa una tubería se modela matemáticamente como el producto de la sección transversal $S$ y la velocidad del fluido $v$. Si la sección es circular de radio $r = \frac{1}{2}t^2$ y la velocidad aumenta de forma no uniforme según $v = \frac{8}{\pi}t^3$, obtén el monomio que define el caudal $Q$ en función del tiempo $t$. ¿Cuál es el grado absoluto de este monomio resultante?