Ejercicios: Operaciones con números irracionales

Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales para expresarlos en su forma más simple:

1. a) $\sqrt{252}$
2. b) $\sqrt[3]{1080}$

Realiza la siguiente operación agrupando los radicales semejantes y expresa el resultado final:

$7\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + 4\sqrt{5} - \sqrt{5}$

Multiplica los siguientes radicales y simplifica el resultado extrayendo los factores que sean posibles:

$\sqrt{15} \cdot \sqrt{10}$

Divide los siguientes radicales del mismo índice y simplifica el resultado:

$\frac{\sqrt[3]{320}}{\sqrt[3]{5}}$

Calcula la potencia del siguiente radical y expresa el resultado en su forma más simple extrayendo factores si es necesario:

$(\sqrt[4]{27})^2$

Expresa como un único radical utilizando las propiedades de las raíces y simplifica el resultado:

$\sqrt{\sqrt[3]{64}}$

Racionaliza el denominador de la siguiente fracción y simplifica la expresión resultante:

$\frac{18}{\sqrt{3}}$

Racionaliza la siguiente expresión para eliminar la raíz del denominador:

$\frac{10}{\sqrt[4]{8}}$

Un jardinero necesita vallar un parterre triangular en un parque botánico. Las longitudes de los tres lados del parterre miden $\sqrt{50}$ m, $\sqrt{18}$ m y $\sqrt{98}$ m. Expresa el perímetro total del parterre como un único radical simplificado.

En un experimento de cristalografía, el volumen de un cristal viene dado por la expresión $V = \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt{8}$ mm$^3$. Reduce a índice común, opera y extrae factores para expresar el volumen exacto en su forma radical más simple.

La intensidad de una señal electromagnética en cierto punto del espacio se ha modelizado mediante la expresión $I = \frac{12}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ W/m$^2$. Racionaliza la expresión para calcular el valor exacto de la intensidad sin raíces en el denominador.

Efectúa la siguiente operación combinada con radicales aplicando la propiedad distributiva y simplifica al máximo el resultado:

$\sqrt{3} \cdot (\sqrt{27} - \sqrt{12}) + 5\sqrt{9}$

Simplifica la siguiente expresión algebraica introduciendo factores y reduciendo a un único radical, asumiendo que $x$ e $y$ son números reales positivos:

$\sqrt{x^3 \cdot \sqrt[3]{y^6 \cdot x^2}}$

El número de oro $\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ aparece frecuentemente en las proporciones del arte y el diseño. Si el largo de una tarjeta de crédito es $8\Phi$ cm y su ancho es $8$ cm, calcula el área exacta y el perímetro exacto de la tarjeta, expresando los resultados simplificados y con radicales.

En el diseño estructural de un puente colgante, la tensión de uno de los cables principales se calcula con la fórmula $T = \frac{15\sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}}$ kN. Racionaliza el denominador y simplifica la expresión de la tensión para los ingenieros.

El periodo $T$ de oscilación de un péndulo (en segundos) viene dado por la fórmula $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$. Si la longitud del péndulo es $L = \frac{9}{10}$ metros y consideramos la gravedad $g = 10$ m/s$^2$, calcula el valor exacto de $T$ operando con los números irracionales y racionalizando el resultado.

Demuestra que la siguiente expresión representa un número entero, realizando las operaciones de suma de fracciones y las racionalizaciones necesarias paso a paso:

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$

Calcula el área exacta de la región sombreada comprendida entre una circunferencia de radio $R = 2\sqrt{6}$ cm y un hexágono regular inscrito en ella. Expresa el resultado factorizando al máximo los números irracionales y extrayendo factor común si es posible.

Racionaliza y simplifica al máximo la siguiente expresión combinada, prestando atención a los signos y a la extracción de factores:

$\frac{2\sqrt{5} + 3\sqrt{2}}{2\sqrt{5} - 3\sqrt{2}} - 6\sqrt{10}$

Resuelve la siguiente ecuación de primer grado aislando la incógnita $x$ y racionalizando el resultado final para expresarlo en la forma $a + b\sqrt{c}$:

$x\sqrt{2} - 3 = x\sqrt{3} + \sqrt{6}$

Simplifica el radical anidado $\sqrt{14 - 6\sqrt{5}}$ sabiendo que equivale a una expresión de la forma $a - b\sqrt{5}$, donde $a$ y $b$ son números enteros positivos. Encuentra los valores de $a$ y $b$ elevando al cuadrado ambas expresiones.

En un tetraedro regular, la arista mide $a = 3\sqrt{2}$ cm. Sabiendo que la altura de un tetraedro regular en función de su arista es $H = a\frac{\sqrt{6}}{3}$ y su volumen es $V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$, calcula el valor exacto de la altura $H$ y el volumen $V$, expresando los resultados en su forma radical más simple.

En la teoría de la relatividad especial, el factor de Lorentz viene dado por la expresión $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$. Calcula el valor exacto y racionalizado de $\gamma$ para una nave espacial que viaja a una velocidad $v = \frac{\sqrt{5}}{3}c$.

La diagonal de un rectángulo de lados $1$ y $\sqrt{2}$ se denomina $d_1$. Si construimos un nuevo rectángulo cuyos lados son $d_1$ y $\sqrt{3}$, su diagonal es $d_2$. Si repetimos este proceso de manera que los catetos del $n$-ésimo triángulo rectángulo sean $d_{n-1}$ y $\sqrt{n+1}$, determina el valor exacto de la diagonal $d_4$ operando paso a paso con los números irracionales.