Ejercicios: Error absoluto y relativo

Calcula el error absoluto y el error relativo que se comete al aproximar el número $3,456$ por $3,46$. Expresa el error relativo en forma de porcentaje.

Redondea el número $x = 12,7891$ a las centésimas y calcula el error absoluto cometido en esta aproximación.

Al medir la longitud de un pasillo se ha obtenido un valor aproximado de $150$ cm con un error absoluto máximo de $2$ cm. Escribe el intervalo en el que se encuentra con seguridad el valor real de la longitud.

Se han realizado dos mediciones en una clase de tecnología: en la primera se comete un error absoluto de $0,5$ cm al medir un listón de $20$ cm, y en la segunda un error absoluto de $2$ cm al medir un tablón de $100$ cm. ¿Cuál de las dos mediciones es más precisa? Justifica tu respuesta calculando los errores relativos.

Sabiendo que el error relativo de una pesada en el laboratorio es del $5\ \%$ y que el valor real de la masa es $250$ g, determina el error absoluto cometido.

Aproxima el número $\frac{2}{3}$ utilizando dos cifras decimales, primero por truncamiento y luego por redondeo. Calcula el error absoluto en cada caso e indica qué aproximación es más cercana al valor real.

El valor real de la aceleración de la gravedad en la Tierra es $g = 9,81$ m/s$^2$. Si en un problema de física utilizas el valor aproximado de $10$ m/s$^2$ para simplificar los cálculos, halla el error absoluto y el error relativo porcentual que estás introduciendo.

Determina el error absoluto y relativo que se comete al usar la fracción $\frac{22}{7}$ como aproximación del número irracional $\pi$. (Utiliza el valor de $\pi$ que proporciona tu calculadora y expresa los resultados finales redondeados a cuatro cifras decimales).

Un telescopio espacial mide la distancia a una estrella lejana obteniendo $4,25 \cdot 10^8$ km. Sabiendo que el valor considerado exacto por la comunidad astronómica tras múltiples calibraciones es $4,23 \cdot 10^8$ km, calcula el error absoluto y el error relativo porcentual de la medición del telescopio.

En el mostrador de una frutería, el precio de un kilogramo de cerezas es de $14,99$ €. Si un cliente compra $0,350$ kg, la báscula calcula el precio exacto multiplicando ambas cantidades y luego redondea el resultado al céntimo más cercano para poder cobrar. Calcula el error absoluto y el error relativo porcentual que se comete en el precio final a pagar.

El tamaño real de una bacteria observada al microscopio es de $2,5 \cdot 10^{-6}$ m. Un estudiante, al anotar el dato en su cuaderno de laboratorio, se equivoca en el exponente y escribe $2,5 \cdot 10^{-5}$ m. Calcula el error absoluto y el error relativo cometido por el estudiante. A la vista del error relativo, ¿se trata de un error despreciable o de una equivocación grave?

En una carrera de atletismo de 100 metros lisos, el cronómetro oficial tiene una precisión de una centésima de segundo (es decir, la cota de error absoluto es $0,01$ s). Si el tiempo registrado en el marcador para el atleta ganador es de $9,81$ s, calcula la cota del error relativo que afecta a esta medición y exprésala en porcentaje.

Se ha medido el radio de una pieza circular de metal con un calibre, obteniendo un valor aproximado de $r = 15$ mm, sabiendo que el instrumento tiene un margen de error máximo de $\pm 0,5$ mm. Calcula el intervalo en el que se encuentra el área real de la pieza. Después, utilizando el valor medido para hallar un área aproximada, determina la cota de error absoluto máximo que se puede estar cometiendo en dicha área.

Para preparar una disolución en un laboratorio de química se necesitan exactamente $250$ ml de agua destilada. Al usar una probeta graduada, un alumno introduce $248$ ml. Por otro lado, la receta exige $5$ g de sal, pero al pesarla en la balanza, se añaden $5,1$ g. Calcula el error relativo en cada una de las dos mediciones y determina en cuál de los dos procesos se ha sido más preciso.

La capacidad de un disco duro externo se anuncia en la caja como $500$ GB (donde $1$ GB comercial equivale a $10^9$ bytes). Sin embargo, el sistema operativo del ordenador lee los gigabytes en base binaria ($1$ GB informático real equivale a $2^{30}$ bytes). Calcula el error absoluto y el error relativo porcentual entre la capacidad anunciada por el fabricante y la capacidad real que detectará el ordenador, expresando ambos valores en bytes.

Si al aproximar una incógnita $x$ por el valor $3,14$ se comete un error relativo de, aproximadamente, $0,00159265...$ (asumiendo que el valor real es $\pi$), comprueba matemáticamente si esta aproximación se ha realizado por defecto o por exceso, y verifica que la fórmula del error relativo se cumple con estos datos.

El valor real de una magnitud física desconocida es $x$ y su valor aproximado, medido por un sensor, es $y$. Si sabemos que el error relativo cometido en la medición es exactamente del $4\ \%$ y que el error absoluto es de $0,2$ unidades, plantea las ecuaciones correspondientes y determina los dos posibles valores reales de $x$ y sus respectivas aproximaciones $y$.

Un topógrafo mide el lado de un terreno cuadrado obteniendo $L = 40$ m. Sabe que el error relativo de su instrumento de medida es del $2\ \%$ (es decir, $E_r(L) = 0,02$). Demuestra matemáticamente que la cota de error relativo que se comete al calcular el área del terreno a partir de esta medida es, aproximadamente, del $4\ \%$.

Razona matemáticamente y discute en qué condiciones estrictas el error absoluto de una aproximación coincide exactamente con su error relativo. Proporciona un ejemplo numérico concreto indicando el valor real y el valor aproximado que ilustre esta peculiar situación.

Una fábrica de componentes mecánicos establece que la longitud ideal de un perno es de $50$ mm. Para que una remesa de pernos pase el control de calidad automatizado, el error relativo de la longitud de cada pieza no puede superar el $0,5\ \%$. Determina, en forma de intervalo, el rango de longitudes reales aceptables para que un perno sea considerado válido para su venta.

Supón que aproximamos el número irracional $\sqrt{2}$ tomando únicamente sus primeros $n$ decimales exactos mediante truncamiento. Encuentra una expresión matemática que acote el error absoluto en función de $n$. A partir de ella, averigua cuántos decimales $n$ debemos tomar como mínimo si queremos garantizar que el error relativo de nuestra aproximación sea estrictamente menor que $10^{-4}$.

En un experimento de densidad, se mide la masa de un objeto obteniendo $m = 120$ g con una cota de error absoluto de $2$ g, y su volumen $V = 30$ cm$^3$ con una cota de error absoluto de $1$ cm$^3$. Calcula los valores máximo y mínimo reales que podría tomar la densidad ($d = \frac{m}{V}$). Utilizando el valor aproximado central ($d_{aprox} = \frac{120}{30}$), ¿cuál es la cota de error absoluto para la densidad?

Un estudiante ha calculado el error relativo de una medida de laboratorio y ha obtenido la fracción irreducible $\frac{1}{15}$. Si además sabe que el error absoluto ha sido exactamente de $3$ unidades y que la aproximación se hizo por exceso, reconstruye el problema para determinar cuál era el valor real exacto de la magnitud y cuál fue el valor aproximado utilizado en el cálculo.

En el código de un programa informático antiguo, se utiliza la fracción $A = \frac{22}{7}$ como aproximación fija para $\pi$ en el cálculo del volumen de esferas. Un cliente encarga el diseño de un depósito esférico de radio $R = 10$ m y exige por contrato que el error absoluto del volumen calculado por el software sea inferior a $1$ m$^3$. ¿Cumplirá el programa con la exigencia del cliente? Justifica tu respuesta calculando el error absoluto del volumen (utiliza el valor de $\pi$ de la calculadora científica para determinar el volumen considerado como real).