Ejercicios: Aproximaciones

Redondea el número $\pi \approx 3,14159265...$ a las décimas, a las centésimas y a las milésimas.

Trunca el número irracional $\sqrt{7} \approx 2,645751...$ a las centésimas y calcula el error absoluto cometido con dicha aproximación.

Al medir la longitud de una mesa de $2,5 \text{ m}$ exactos, una cinta métrica ha marcado un valor de $2,46 \text{ m}$. Calcula el error absoluto y el error relativo de esta medición.

Indica el número de cifras significativas de las siguientes medidas experimentales: $0,0045 \text{ kg}$, $30,020 \text{ s}$, $1500 \text{ m}$ (suponiendo que es exacta hasta las unidades) y $2,0 \cdot 10^5 \text{ A}$.

Expresa el número $45678,9$ con tres cifras significativas, utilizando para ello la notación científica.

Una báscula de baño marca $54,2 \text{ kg}$ al pesar a una persona. Si sabemos mediante una báscula de precisión que el valor exacto es $54,25 \text{ kg}$, determina el error relativo expresado en porcentaje.

Al redondear un número desconocido a las centésimas se ha obtenido $4,38$. Indica el intervalo en el que se encuentra el valor exacto del número y determina la cota de error absoluto.

Aproxima por exceso y por defecto a las milésimas la fracción $\frac{17}{7}$.

En un supermercado, el precio exacto por peso de una pieza de queso es $14,53 €$ y en caja se cobran $14,50 €$. Por otro lado, una barra de pan cuesta exactamente $0,83 €$ y se cobran $0,80 €$. Calcula el error relativo en ambas compras e indica en cuál de ellas el error afecta más al consumidor en proporción a lo que gasta.

El diámetro de un glóbulo rojo humano es de aproximadamente $7,8 \cdot 10^{-6} \text{ m}$. El software de un microscopio electrónico aproxima esta medida y muestra en pantalla $0,000008 \text{ m}$. Calcula el error absoluto y el error relativo porcentual cometido por el software. ¿Cuántas cifras significativas tiene el valor mostrado en pantalla?

Para construir un marco cuadrado perfecto, se necesita que el área interior sea exactamente de $12 \text{ m}^2$. El carpintero calcula el lado necesario y lo redondea a las centésimas para poder cortar el listón de madera. ¿Cuál será el error absoluto en el perímetro total del marco construido respecto al perímetro ideal?

La distancia por carretera entre dos ciudades se publica como $340 \text{ km}$, indicándose que tiene dos cifras significativas. Determina el intervalo de valores en el que se encuentra la distancia real y calcula la cota de error absoluto y la cota de error relativo máximo posible.

Un archivo informático de texto tiene un tamaño exacto de $1456783 \text{ bytes}$. El sistema operativo muestra su tamaño en la carpeta como $1,4 \text{ MB}$ (considerando para este ejercicio que $1 \text{ MB} = 10^6 \text{ bytes}$). Calcula el error absoluto y el error relativo cometido por la aproximación del sistema operativo.

En una competición de atletismo escolar, el tiempo exacto de un corredor al cruzar la meta es $10,458 \text{ s}$. El cronómetro del juez A funciona truncando a las centésimas, mientras que el cronómetro del juez B redondea a las centésimas. Calcula el error absoluto de cada cronómetro y explica cuál de los dos jueces da un tiempo más cercano al real.

La constante de gravitación universal tiene un valor aproximado de $G \approx 6,674 \cdot 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Redondea este valor para que tenga únicamente tres cifras significativas y halla la cota de error relativo de esta nueva aproximación.

Un termómetro digital de farmacia marca $37,5^\circ\text{C}$. El manual del fabricante asegura que el error relativo máximo del sensor es del $0,4\%$. Calcula el intervalo de temperaturas en el que se encuentra con seguridad la temperatura real del paciente.

En la construcción de un puente, un ingeniero mide las dimensiones de la sección transversal de una viga rectangular obteniendo $L = 15,4 \text{ m}$ y $A = 0,85 \text{ m}$. Ambas medidas han sido redondeadas a la última cifra decimal que muestran. Determina el intervalo en el que se encuentra el área real de la sección de la viga. ¿Cuál es la cota de error absoluto que se asume al calcular el área multiplicando directamente los valores aproximados?

Se quiere vallar una plaza circular. El topógrafo mide el radio y obtiene $R = 45,2 \text{ m}$ (valor redondeado a las décimas). Calcula el perímetro nominal de la plaza usando $\pi \approx 3,1416$ y halla el error absoluto máximo (cota de error) que se puede cometer en el cálculo de dicho perímetro debido a la incertidumbre de la medida del radio.

La densidad de un material se calcula mediante la fórmula $d = \frac{m}{V}$. Si la masa se aproxima a $m = 45 \text{ kg}$ con una cota de error absoluto de $0,5 \text{ kg}$, y el volumen se aproxima a $V = 2,5 \text{ m}^3$ con una cota de error absoluto de $0,1 \text{ m}^3$, calcula los valores máximo y mínimo posibles para la densidad exacta del material.

En un laboratorio, un instrumento de medición A tiene un error absoluto constante de $0,05 \text{ cm}$ independientemente de lo que mida. Un instrumento B mide con un error relativo constante del $0,2\%$. Determina algebraicamente el intervalo de longitudes exactas para las cuales el instrumento A es más preciso (comete menor error absoluto) que el instrumento B.

Demuestra razonadamente que si un número real $x \in [10, 100]$ se redondea al número entero más próximo para obtener una aproximación $x'$, el error relativo máximo posible ocurre cuando $x = 10,5$. ¿Cuál es el valor de ese error relativo máximo expresado en porcentaje?

La velocidad de un proyectil se mide como $v = 345 \text{ m/s}$ (con tres cifras significativas). Su masa se estima en $m = 12,4 \text{ kg}$ (también con tres cifras significativas). Sabiendo que la energía cinética se calcula como $E_c = \frac{1}{2} m v^2$, calcula el valor aproximado de la energía, determina el número adecuado de cifras significativas para expresar el resultado final y estima la cota de error relativo de la energía cinética.

Un ordenador almacena los números reales utilizando un estándar de coma flotante que trunca la mantisa para guardar el equivalente a $7$ cifras decimales significativas. Si el ordenador debe realizar y almacenar el resultado de la operación $10^8 + 1$, ¿qué error absoluto y qué error relativo comete el sistema al guardar el número final?

Un inversor compra un paquete de acciones por un valor exacto de $15000 €$. El sistema informático del broker redondea los porcentajes diarios de ganancia a un número entero antes de aplicarlos. Si la ganancia real diaria fue exactamente del $1,49\%$ durante $5$ días consecutivos, calcula la diferencia en euros entre el saldo final calculado con el porcentaje exacto y el saldo final calculado con el porcentaje redondeado. ¿Cuál es el error relativo final sobre el saldo total?