Ejercicios: Operaciones con números racionales

Realiza la siguiente operación combinada con fracciones, respetando la jerarquía de las operaciones, y expresa el resultado como una fracción irreducible:

$ \frac{3}{4} - \left( \frac{1}{2} + \frac{2}{5} \right) \cdot \frac{5}{3} $

Una receta de repostería requiere $\frac{3}{4}$ de kilogramo de harina para elaborar una tarta entera. Si solo disponemos de los ingredientes para hacer la mitad de la receta, ¿qué cantidad de harina necesitaremos? Expresa el resultado en forma de fracción irreducible.

Resuelve el siguiente castillo de fracciones, simplificando el numerador y el denominador antes de realizar la división principal:

$ \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{3}} $

Halla el valor de la incógnita $x$ que hace que la siguiente igualdad sea cierta:

$ \frac{2}{3} \cdot x - \frac{1}{4} = \frac{5}{12} $

Un ciclista completa $\frac{1}{3}$ de una etapa en la primera hora. En la segunda hora, recorre $\frac{2}{5}$ de la distancia que le quedaba pendiente. Si después de estas dos horas aún le faltan 30 km para llegar a la meta, ¿cuál es la longitud total de la etapa?

Una empresa tecnológica destina $\frac{3}{8}$ de su presupuesto anual al pago de salarios, $\frac{1}{5}$ a campañas de marketing y $\frac{1}{4}$ del presupuesto restante a investigación y desarrollo (I+D). ¿Qué fracción del presupuesto total queda disponible para otros gastos operativos?

Una aleación metálica utilizada en ingeniería aeroespacial está compuesta por $\frac{3}{7}$ de cobre, $\frac{2}{5}$ de zinc, y el resto es estaño. Si la masa total de una pieza fabricada con esta aleación es de 140 kg, ¿cuántos kilogramos exactos de estaño contiene?

Un grifo es capaz de llenar una piscina en 4 horas, mientras que un segundo grifo puede llenarla en 6 horas. Si se abren ambos grifos al mismo tiempo, ¿qué fracción de la piscina se habrá llenado al cabo de 1 hora? ¿Cuánto tiempo total (en horas y minutos) tardarán en llenar la piscina por completo?

Calcula la suma exacta de la siguiente serie de fracciones. (Pista: Observa el patrón y descompón cada fracción como la resta de dos fracciones más simples, por ejemplo $\frac{1}{n \cdot (n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$):

$ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{9 \cdot 10} $