Ejercicios: Vectores

Un alumno ha calculado las componentes del vector que va desde el punto $A(2, -5)$ hasta el punto $B(-1, 4)$ realizando la operación $A - B$, obteniendo el vector $(3, -9)$. Indica cuál es el error conceptual cometido y calcula las verdaderas componentes del vector $\vec{AB}$.

Dados los puntos $A(-2, 5)$ y $B(4, -3)$, calcula las coordenadas del vector $\vec{AB}$ y su módulo.

Sean los vectores $\vec{u} = (3, -1)$ y $\vec{v} = (-2, 4)$. Calcula las coordenadas del vector resultante de la operación $3\vec{u} - 2\vec{v}$.

Calcula las coordenadas del punto medio del segmento de extremos $P(7, -2)$ y $Q(-3, 6)$.

Halla la distancia entre los puntos $C(-1, -4)$ y $D(5, 4)$.

Comprueba analíticamente si los vectores $\vec{a} = (6, -9)$ y $\vec{b} = (-4, 6)$ son paralelos (linealmente dependientes).

Calcula el producto escalar de los vectores $\vec{p} = (5, 2)$ y $\vec{q} = (-3, 4)$.

Dado el punto $A(1, 4)$ y el punto medio $M(3, -1)$ del segmento $AB$, halla las coordenadas del extremo $B$.

Determina mediante el producto escalar si los vectores $\vec{m} = (4, 6)$ y $\vec{n} = (-3, 2)$ son perpendiculares.

Dos aviones parten de un mismo punto con trayectorias rectilíneas descritas por los vectores $\vec{v_1} = (120, 160)$ y $\vec{v_2} = (200, -150)$ (en km/h). Calcula el ángulo que forman sus trayectorias.

Sobre un objeto puntual actúan tres fuerzas representadas por los vectores $\vec{F_1} = (15, -10)$, $\vec{F_2} = (-5, 25)$ y $\vec{F_3} = (-4, -3)$ en Newtons. Calcula el vector de la fuerza resultante y determina su módulo.

Halla el valor (o valores) de $k$ para que el módulo del vector $\vec{v} = (k, -8)$ sea exactamente $10$.

Un dron se desplaza en línea recta desde el punto $A(-4, 2)$ hasta el punto $B(8, 14)$ en un mapa de coordenadas en metros. Si hace una parada exactamente a un tercio del recorrido desde el punto de partida $A$, ¿en qué coordenadas exactas se detiene?

Para que dos vigas de una estructura de acero se crucen en ángulo recto, sus vectores directores deben ser perpendiculares. Si la primera viga sigue la dirección $\vec{u} = (k-1, 3)$ y la segunda $\vec{v} = (4, k)$, calcula el valor del parámetro $k$.

En un campo de fútbol modelizado en un plano cartesiano, un jugador está en la posición $J(-12, 5)$ y el balón en $B(18, -11)$ (medidas en metros). Calcula la distancia en línea recta entre el jugador y el balón, y las coordenadas del punto exacto donde el jugador habrá recorrido la mitad del camino hacia el balón.

Tres satélites de telecomunicaciones se encuentran en las posiciones orbitales $S_1(-2, 3)$, $S_2(1, 7)$ y $S_3(7, 15)$. Comprueba analíticamente si están alineados en la misma trayectoria.

En un motor de videojuegos, un personaje se mueve en la dirección del vector $\vec{d} = (3, -4)$. El programador necesita generar un vector perpendicular a la trayectoria del personaje, pero que tenga un módulo de $15$ unidades. Encuentra las coordenadas de los dos posibles vectores que cumplen esta condición.

Cuatro estacas marcan los vértices de una parcela con forma de paralelogramo $ABCD$. Se conocen las coordenadas de tres de ellas: $A(-3, -1)$, $B(2, -2)$ y $C(5, 3)$. Calcula las coordenadas de la cuarta estaca $D$ sabiendo que es el vértice opuesto a $B$.

Una máquina de corte láser debe recortar una pieza triangular con vértices en $P(-4, 2)$, $Q(2, 6)$ y $R(4, -1)$ (en cm). Demuestra analíticamente qué tipo de triángulo es (equilátero, isósceles o escaleno) y calcula el perímetro exacto de la pieza.

Determina el valor de $m$ para que los vectores $\vec{u} = (m, 1)$ y $\vec{v} = (2, -3)$ formen un ángulo exacto de $45^\circ$.

En un experimento físico, el desplazamiento de una partícula está dado por el vector $\vec{w} = (11, -2)$. Expresa este vector como combinación lineal de los vectores de las corrientes de los fluidos $\vec{u} = (3, 2)$ y $\vec{v} = (1, -4)$. Es decir, halla los escalares $x$ e $y$ tales que $\vec{w} = x\vec{u} + y\vec{v}$.

Se quiere instalar un router WiFi en un pasillo rectilíneo que coincide con el eje de abscisas (eje X). El router debe estar exactamente a la misma distancia de dos ordenadores situados en los puntos $A(-2, 5)$ y $B(4, 1)$. Calcula las coordenadas exactas donde debe colocarse el router.

Dado el triángulo de vértices $A(-1, 0)$, $B(3, 2)$ y $C(1, 6)$, demuestra utilizando el producto escalar que es un triángulo rectángulo y, a continuación, calcula su área.

Un puente colgante tiene un cable recto que conecta el punto de anclaje $A(-6, 8)$ con el pilar $B(10, -4)$ (en metros). Se quieren colocar tres luces separando el cable en cuatro tramos de igual longitud. Calcula las coordenadas de los tres puntos de iluminación.

Una bola de billar choca contra la banda de la mesa. La trayectoria de llegada está definida por el vector $\vec{v_i} = (4, -3)$. Si la banda es paralela al eje X, el vector de la trayectoria de salida $\vec{v_f}$ tendrá la misma componente X pero la componente Y opuesta. Calcula el ángulo exacto que forman los vectores de las trayectorias de llegada y de salida.