Ejercicios: Punto medio de un segmento

Al determinar el punto medio $M$ del segmento de extremos $C(-4, 2)$ y $D(6, 8)$, un compañero ha restado las coordenadas de los extremos y ha dividido entre dos: $M\left(\frac{6 - (-4)}{2}, \frac{8 - 2}{2}\right) = (5, 3)$. Corrige este error común y halla las coordenadas correctas del punto medio.

Calcula las coordenadas del punto medio del segmento de extremos $A(4, -2)$ y $B(-6, 8)$.

Halla el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos $C(-3, -5)$ y $D(-1, -9)$.

Determina las coordenadas del punto medio del segmento formado por los puntos $E\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)$ y $F\left(\frac{5}{2}, -\frac{1}{4}\right)$.

El punto $M(1, 1)$ es el punto medio del segmento de extremos $A(-2, 3)$ y $B$. Calcula las coordenadas del extremo $B$.

Halla las coordenadas del punto simétrico de $P(5, -2)$ con respecto al punto $Q(0, 4)$.

Comprueba matemáticamente si el punto $M(2, -1)$ es verdaderamente el punto medio del segmento que une los puntos $R(7, -5)$ y $S(-3, 3)$.

Calcula las coordenadas del punto que divide exactamente por la mitad al segmento que une el origen de coordenadas con el punto $P(-14, 22)$.

Un teleférico conecta la estación base situada en el punto $B(100, 200)$ con la cima de la montaña en el punto $P(500, 800)$, en un plano coordenado. Encuentra las coordenadas de la torre de soporte intermedia que se debe construir exactamente a mitad de camino.

En el plano urbanístico de una ciudad, dos estaciones de metro están ubicadas en las coordenadas $A(-2,5; 4,8)$ y $B(7,3; -1,2)$. Los ingenieros necesitan perforar un pozo de ventilación exactamente en el punto medio entre ambas estaciones. Calcula las coordenadas exactas de dicho pozo.

El segmento que une los puntos $P(-4, 7)$ y $Q(8, 3)$ es el diámetro de una circunferencia. Calcula las coordenadas del centro de la circunferencia y la longitud exacta de su radio.

Tres de los vértices de un paralelogramo $ABCD$ son $A(-1, -2)$, $B(4, -1)$ y $C(5, 3)$. Sabiendo que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio, calcula las coordenadas del cuarto vértice $D$.

El punto medio del segmento cuyos extremos son $A(3m, n-2)$ y $B(m+4, 3n)$ es el punto $M(7, 5)$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula los valores de los parámetros $m$ y $n$.

En un videojuego, un personaje atraviesa un portal de teletransporte que funciona como un punto de simetría central ubicado en $M(15, 20)$. Si el personaje entra al portal desde la posición $C(5, 8)$, ¿en qué coordenadas reaparecerá? Si después de reaparecer camina en línea recta hasta la posición $D(30, 40)$, ¿cuál es el punto medio de este último recorrido?

La estructura de un puente cuenta con una viga diagonal que va desde el anclaje $A(2, 1)$ hasta el nodo $B(14, 9)$, expresado en metros. Se necesita instalar un sensor de tensión exactamente en el centro de la viga. Calcula las coordenadas del sensor.

Un triángulo tiene como vértices los puntos $A(0, 0)$, $B(6, 0)$ y $C(2, 8)$. Calcula las coordenadas de los puntos medios de sus tres lados. Luego, halla el perímetro del nuevo triángulo formado por estos puntos medios y comprueba que es exactamente la mitad del perímetro del triángulo original $ABC$.

En un modelo astronómico bidimensional, un cometa es detectado en la posición $P_1(-300, 450)$ y varios días después en la posición $P_2(150, -150)$ (coordenadas en millones de kilómetros). Encuentra las coordenadas del punto que se encuentra exactamente a la mitad de estas dos observaciones. Después, calcula la distancia desde el origen de coordenadas (donde se encuentra el Sol) hasta dicho punto medio.

Dado un cuadrilátero cualquiera con vértices en $A(-4, 2)$, $B(2, 6)$, $C(6, 0)$ y $D(0, -6)$. Calcula las coordenadas de los puntos medios de sus cuatro lados. A continuación, demuestra matemáticamente que el nuevo cuadrilátero formado al unir estos puntos medios es siempre un paralelogramo.

Los extremos de un segmento son los puntos $A(k^2, 3k)$ y $B(4-k^2, k-8)$. Determina el valor o los valores del parámetro $k$ para los cuales el punto medio de dicho segmento coincide exactamente con el origen de coordenadas.

Una máquina de corte láser realiza una incisión recta sobre una plancha de metal desde el punto $P(-8, 10)$ hasta el punto $Q(12, -6)$. El sistema necesita colocar exactamente tres remaches espaciados a la misma distancia a lo largo de este corte (es decir, dividiendo el segmento en 4 partes iguales). Calcula las coordenadas de los tres puntos de remache utilizando sucesivas veces el concepto de punto medio.

Un punto $P(-2, 5)$ se refleja respecto al punto $M_1(1, 3)$ para obtener un punto $P'$. Posteriormente, el punto $P'$ se refleja respecto al punto $M_2(4, -1)$ para obtener un punto final $P''$. Calcula las coordenadas de $P''$ y demuestra que el vector traslación $\vec{PP''}$ es exactamente el doble del vector $\vec{M_1M_2}$.

En un experimento de física, se colocan cuatro masas puntuales idénticas en las coordenadas $A(-4, 2)$, $B(2, 6)$, $C(4, -2)$ y $D(-2, -4)$. Para hallar el centro de masas del sistema completo, primero calcula el punto medio del segmento $AB$ y el punto medio del segmento $CD$. Luego, calcula el punto medio del segmento que une los dos puntos medios anteriores. ¿Cuáles son las coordenadas del centro de masas del sistema?

El centro de un rectángulo se sitúa en el punto $M(3, 2)$. Se conocen las coordenadas de dos de sus vértices adyacentes, que son $A(-1, -1)$ y $B(2, -5)$. Calcula las coordenadas de los otros dos vértices $C$ y $D$. Finalmente, comprueba analíticamente que las dos diagonales del rectángulo miden exactamente lo mismo.

El punto simétrico de $A(x, y)$ con respecto al punto $M(2, -3)$ es $A'$. A su vez, el punto simétrico de $A'$ con respecto al punto $N(-1, 4)$ es $A''$. Si sabemos que las coordenadas finales son $A'' = (5, 7)$, plantea las ecuaciones correspondientes y determina las coordenadas del punto original $A$.

Sea $A(-3, 4)$ un punto fijo en el plano. Un segundo punto $B(x, y)$ se mueve libremente pero siempre manteniéndose sobre la recta de ecuación $y = 2x$. Expresa las coordenadas del punto medio $M$ del segmento $AB$ en función de $x$. A partir de ahí, deduce cuál es la relación algebraica (ecuación) que cumplen siempre las coordenadas del punto $M$.