Ejercicios: Pendiente de una recta

Para hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos $P(1, 3)$ y $Q(4, 9)$, un estudiante ha dividido la diferencia de las abscisas entre la diferencia de las ordenadas, obteniendo $m = \frac{4 - 1}{9 - 3} = \frac{1}{2}$. Explica por qué este razonamiento es incorrecto y calcula la pendiente real de la recta.

Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos $A(-1, 4)$ y $B(3, -2)$.

Determina la pendiente de una recta cuyo vector director es $\vec{v} = (5, -3)$.

Halla la pendiente de una recta sabiendo que forma un ángulo de $60^\circ$ con el semieje positivo de abscisas.

Indica cuál es la pendiente y la ordenada en el origen de la recta cuya ecuación explícita es $y = \frac{3}{4}x - 5$.

Obtén la pendiente de la recta dada por la ecuación general $2x + 6y - 7 = 0$.

Una recta $r$ tiene como pendiente $m = -2$. Si la recta $s$ es paralela a $r$, ¿cuál es la pendiente de $s$?

Se sabe que una recta $r$ tiene como vector director $\vec{v} = (1, 4)$. Determina la pendiente de cualquier recta que sea perpendicular a $r$.

Durante una ruta de senderismo, un montañero comienza en un refugio situado a $1200$ m de altitud. Tras avanzar $4000$ m en distancia horizontal, alcanza una cima a $1800$ m de altitud. Suponiendo que el ascenso se realiza en línea recta, calcula la pendiente de la ladera de la montaña.

Para cumplir con la normativa de accesibilidad, una rampa para sillas de ruedas no debe superar una pendiente del $8\%$. Si se necesita salvar un desnivel de $0,6$ m de altura disponiendo de un espacio horizontal de $8$ m, calcula la pendiente de la rampa resultante en porcentaje y razona si cumple la normativa.

Halla el valor del parámetro $k$ para que la recta que pasa por los puntos $A(k, 2)$ y $B(4, -1)$ tenga una pendiente $m = \frac{3}{2}$.

Determina el valor de $k$ sabiendo que la recta $r: 3x - ky + 2 = 0$ es paralela a la recta que pasa por los puntos $P(1, 5)$ y $Q(3, 9)$.

Calcula el valor de $a$ para que la recta $r: 5x + 2y - 4 = 0$ sea perpendicular a la recta $s: ax - 10y + 1 = 0$.

Una empresa compra maquinaria industrial por $20000$ €. Se estima que su valor se deprecia linealmente con el tiempo, de modo que a los $6$ años su valor será de $5000$ €. Calcula la pendiente de la recta que relaciona el valor de la máquina con el tiempo transcurrido e interpreta su significado económico.

Un rayo de luz láser incide sobre un espejo plano situado sobre el eje de abscisas (eje X). Si el rayo incidente pasa por el punto $A(-4, 5)$ y golpea el espejo en el origen de coordenadas $(0,0)$, ¿cuál es la pendiente de la recta que describe la trayectoria del rayo reflejado?

Calcula el ángulo de inclinación respecto al semieje positivo de abscisas de la recta que pasa por los puntos $A(0, 2)$ y $B(3, 2+3\sqrt{3})$.

Un avión de pasajeros inicia su maniobra de descenso hacia el aeropuerto cuando se encuentra a una altitud de $4000$ m. Tras recorrer una distancia horizontal de $15$ km, su altitud se ha reducido a $1000$ m. Si el descenso mantiene una inclinación constante, calcula la pendiente de la trayectoria de vuelo.

Determina el valor de $k$ para que los puntos $A(1, k)$, $B(k, 1)$ y $C(0, 3)$ estén alineados, utilizando para ello el concepto de pendiente.

Los vértices de un triángulo son $A(-2, 5)$, $B(4, 1)$ y $C(2, -3)$. Calcula la pendiente de la recta que contiene a la altura correspondiente al vértice $B$.

En el diseño de una carretera, un tramo de ascenso continuo con una pendiente del $6\%$ conecta directamente con un tramo de descenso que tiene una pendiente del $-4\%$. Calcula el ángulo que forman las rasantes de ambos tramos en el punto de encuentro.

Una circunferencia tiene su centro en el punto $C(3, -2)$ y pasa por el punto $P(6, 2)$. Sabiendo que la recta tangente a una circunferencia en un punto es perpendicular al radio en dicho punto, halla la pendiente de la recta tangente a la circunferencia en el punto $P$.

Discute los valores que debe tomar el parámetro $k$ para que las rectas $r: kx - 2y + 4 = 0$ y $s: 8x - ky - 1 = 0$ sean estrictamente paralelas.

Para maximizar la eficiencia de un panel solar, este debe instalarse de forma perpendicular a los rayos del sol en el momento de mayor radiación. En ese instante, un poste vertical de $3$ m de altura proyecta una sombra horizontal de $4$ m sobre un suelo plano. Calcula la pendiente que debe tener la estructura del panel solar.

Dada la recta $r: 2x + 7y - 5 = 0$, se considera un punto cualquiera $P$ del plano que no pertenece a $r$. Si $P'$ es el punto simétrico de $P$ respecto a la recta $r$, ¿cuál es la pendiente del segmento $\overline{PP'}$? Razona tu respuesta.

Encuentra la relación algebraica entre las coordenadas $x$ e $y$ de un punto $P(x,y)$ sabiendo que la pendiente de la recta que une $P$ con $A(5,0)$ multiplicada por la pendiente de la recta que une $P$ con $B(-5,0)$ da como resultado $-1$. ¿Qué figura geométrica forman todos los puntos $P$ que cumplen esta condición?