Ejercicios: Función radical

Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{4x - 12}$.

Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función $g(x) = \sqrt{3x + 9} - 3$.

Dada la función $h(x) = \sqrt{5 - 2x}$, calcula las imágenes correspondientes a los valores $x = -2$, $x = \frac{1}{2}$ y $x = -10$.

Observa las siguientes gráficas y asocia cada una de ellas (A, B, C y D) con su expresión analítica correspondiente entre las siguientes opciones: $y = \sqrt{x+2}$, $y = \sqrt{x} + 2$, $y = \sqrt{x-2}$, e $y = \sqrt{x} - 2$.

Escribe la expresión algebraica de la función que resulta de trasladar la gráfica de la función $f(x) = \sqrt{x}$ tres unidades hacia la izquierda y cinco unidades hacia abajo.

Halla el valor de $x$ para el cual la función radical $f(x) = \sqrt{15 - 3x}$ toma el valor $y = 6$.

Explica de forma razonada la diferencia entre los dominios de las funciones $f(x) = \sqrt[3]{2x - 8}$ y $g(x) = \sqrt{2x - 8}$.

Indica cuál es el recorrido (o conjunto imagen) de las funciones $f(x) = \sqrt{x - 5}$ y $g(x) = -\sqrt{x - 5}$.

Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{-x^2 + 2x + 8}$.

El periodo $T$ (en segundos) de un péndulo simple viene dado por la función $T(l) = 2\pi\sqrt{\frac{l}{9,8}}$, donde $l$ es la longitud del péndulo en metros. Calcula el periodo de un péndulo de $2,5\text{ m}$ de longitud y averigua qué longitud debe tener un péndulo para que su periodo sea exactamente de $2\text{ s}$.

Observa la gráfica de la función radical $f(x)$. A partir de ella, determina su dominio, su recorrido, los puntos de corte con los ejes y sus intervalos de crecimiento o decrecimiento.

Halla analíticamente los puntos de intersección entre la función radical $f(x) = \sqrt{2x + 3}$ y la recta $g(x) = x$.

La velocidad $v$ (en m/s) de propagación de un tsunami en el océano depende de la profundidad $d$ (en metros) según la función $v(d) = \sqrt{9,8 \cdot d}$. Si un tsunami avanza a una velocidad de $720\text{ km/h}$, ¿cuál es la profundidad del océano en ese punto? (Recuerda realizar los cambios de unidades necesarios).

Determina la función inversa de la rama derecha de la parábola $f(x) = x^2 - 4$ (es decir, para $x \ge 0$). ¿Cuál es el dominio de la función inversa resultante?

Halla el dominio de definición de la función $g(x) = \frac{5}{\sqrt{x^2 - 16}}$.

Un faro se encuentra situado a $3\text{ km}$ de una costa recta. Un barco navega paralelo a la costa a una distancia de $3\text{ km}$ de esta (pasando justo por el faro en su punto más cercano). Si el barco se aleja a una velocidad constante de $15\text{ km/h}$, escribe la función que determina la distancia en línea recta desde el barco hasta el faro en función del tiempo $t$ (en horas).

A partir de la función radical básica $f(x) = \sqrt{x}$, aplicamos las siguientes transformaciones geométricas en orden: un desplazamiento de $3$ unidades hacia la derecha, una reflexión respecto al eje de abscisas y, por último, un desplazamiento de $4$ unidades hacia arriba. Escribe la expresión analítica de la nueva función $g(x)$, calcula su dominio y halla sus puntos de corte con los ejes.

La siguiente gráfica corresponde a una función del tipo $f(x) = a\sqrt{x-b} + c$. Observa los puntos clave señalados en la curva y determina el valor exacto de los parámetros $a$, $b$ y $c$.

Determina los valores que debe tomar el parámetro $k$ para que el dominio de la función $f(x) = \sqrt{x^2 - kx + 9}$ sea todo el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$.

Se desea tender un cable desde lo alto de una torre de $10\text{ m}$ de altura hasta un punto en el suelo, y desde ahí hasta una casa situada a $25\text{ m}$ de la base de la torre. Si llamamos $x$ a la distancia desde la base de la torre hasta el punto de anclaje en el suelo, escribe la función $L(x)$ que representa la longitud total del cable.

Halla el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{\frac{2x - 6}{x + 4}}$.

Resuelve analíticamente el sistema formado por las funciones $y = \sqrt{x + 4}$ e $y = \sqrt{x - 1} + 1$, para hallar su punto de intersección.

Según la Teoría de la Relatividad Especial, el tiempo se dilata para un objeto que se mueve a gran velocidad. El factor de Lorentz $\gamma$ viene dado por la función $\gamma(v) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $v$ es la velocidad del objeto y $c \approx 300\,000\text{ km/s}$ es la velocidad de la luz. Determina el dominio matemático de esta función y explica brevemente su significado físico en términos de la velocidad máxima alcanzable.

Estudia y determina el dominio de definición de la función $h(x) = \sqrt{|x - 3| - 2}$.

Expresa el área de un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia de radio $R = 5\text{ cm}$ en función de la altura $h$ del triángulo. ¿Cuál es el dominio matemático de esta función en su contexto geométrico?