Ejercicios: Idea de función lineal. Tipos

Identifica la pendiente ($m$) y la ordenada en el origen ($n$) de las siguientes funciones lineales:

• a) $y = 5x - 2$

• b) $y = -\frac{3}{4}x + 1$

• c) $y = 8$

• d) $y = \frac{x}{2}$

Clasifica las siguientes funciones en función de proporcionalidad directa (función lineal), función afín o función constante:

• a) $y = -3x + 5$

• b) $y = \frac{4}{5}x$

• c) $y = -7$

• d) $y = x$

Escribe la ecuación de la función de proporcionalidad directa cuya gráfica pasa por el punto $P(4, -12)$.

Dada la función afín $f(x) = -2x + 9$, calcula las imágenes de $x = 3$, $x = -1$ y $x = \frac{1}{2}$.

Escribe la ecuación de la función constante que pasa por el punto $A(-3, 6)$. ¿Cuál es el valor exacto de su pendiente?

Determina matemáticamente si los puntos $A(2, 5)$ y $B(-1, -3)$ pertenecen a la gráfica de la función $y = 3x - 1$.

Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos $A(0, 4)$ y $B(2, 10)$.

Una función de proporcionalidad directa viene dada por la siguiente tabla de valores. Encuentra su expresión algebraica $y = f(x)$.

• $x$: $2, 4, 6$

• $y$: $7, 14, 21$

Un fontanero cobra $40$ € fijos por el desplazamiento a domicilio, más $25$ € por cada hora de trabajo. Escribe la función que relaciona el coste total del servicio ($y$) con las horas trabajadas ($x$). ¿Cuánto costará una reparación que ha durado $3,5$ horas?

Observa la siguiente representación gráfica que muestra dos rectas, $A$ y $B$. Determina la expresión analítica de cada una de ellas analizando los puntos por los que pasan.

Un muelle mide $15$ cm en reposo. Al colgarle pesos, se comprueba que por cada kilogramo añadido el muelle se estira $3$ cm (según la ley de Hooke). Escribe la función afín que relaciona la longitud total del muelle ($L$) con la masa colgada en kilogramos ($m$). ¿Qué longitud tendrá si le colgamos $4,5$ kg?

Encuentra la ecuación de una recta que sea paralela a la función $y = -2x + 5$ y que pase exactamente por el origen de coordenadas.

La relación entre la temperatura en grados Celsius ($C$) y grados Fahrenheit ($F$) es lineal. Sabemos que el agua se congela a $0$ ºC, lo que equivale a $32$ ºF, y hierve a $100$ ºC, lo que equivale a $212$ ºF. Encuentra la función $F(C)$ que permite convertir grados Celsius a grados Fahrenheit.

Calcula los puntos exactos de corte con los ejes de coordenadas (eje $X$ y eje $Y$) de la función afín $y = \frac{2}{5}x - 4$.

Un depósito contiene $800$ litros de agua y se está vaciando mediante una bomba que extrae $40$ litros por minuto. Escribe la expresión analítica del volumen de agua en el depósito en función del tiempo. ¿Cuánto tiempo tardará en vaciarse por completo?

Halla la ecuación de la función afín que pasa por los puntos $P(-2, 5)$ y $Q(1, -4)$.

Dos compañías telefónicas ofrecen diferentes tarifas. La gráfica muestra el coste mensual en euros ($C$) en función de los minutos hablados ($t$). A partir de la gráfica, determina la expresión algebraica de cada tarifa y explica, resolviendo el sistema correspondiente, a partir de cuántos minutos conviene contratar la Tarifa A frente a la Tarifa B.

Encuentra el valor del parámetro $k$ para que la recta de ecuación $y = (3k - 2)x + 5$ sea estrictamente paralela a la recta que pasa por los puntos $A(-1, 2)$ y $B(3, 14)$.

Una máquina industrial se compra por $15\,000$ €. Su valor se deprecia linealmente con el tiempo hasta alcanzar un valor de $0$ € al cabo de $12$ años. Determina la función que expresa el valor de la máquina en función de los años transcurridos. ¿Cuál será su valor residual exacto cuando tenga $7$ años de antigüedad?

La siguiente gráfica representa una función definida a trozos formada por tres segmentos rectilíneos. Determina su expresión analítica completa $f(x)$, indicando claramente los intervalos de definición para cada tramo.

Calcula el área del triángulo que forma la recta $y = -\frac{3}{2}x + 6$ al intersecar con los ejes de coordenadas $X$ e $Y$.

Dos barcos se encuentran en dos puertos separados por $300$ km. El barco $A$ sale hacia el puerto del barco $B$ a una velocidad constante de $40$ km/h. Al mismo tiempo, el barco $B$ sale hacia el puerto del barco $A$ a $35$ km/h. Escribe las funciones de posición de ambos barcos respecto al puerto de origen del barco $A$ y calcula analíticamente en qué instante de tiempo se cruzarán.

Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto $P(2, 3)$ sabiendo que su ordenada en el origen es exactamente el doble que su abscisa en el origen (es decir, el punto de corte con el eje $Y$ es el doble que el punto de corte con el eje $X$).

Demuestra matemáticamente que si $f(x)$ es una función de proporcionalidad directa ($f(x) = mx$), se cumple siempre que $f(a+b) = f(a) + f(b)$ para cualesquiera valores $a$ y $b$. Luego, comprueba y justifica por qué esta propiedad no se cumple para una función afín $g(x) = mx + n$ (con $n \neq 0$).