Ejercicios: Simetría de una función

Determina algebraicamente si la función $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5$ es par, impar o no tiene simetría.

Comprueba de forma analítica si la función racional $g(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ presenta algún tipo de simetría.

Estudia la simetría de la función polinómica $h(x) = x^3 - 4x + 1$.

Observa la siguiente gráfica de una función $f(x)$. A partir de su representación, determina qué tipo de simetría posee y calcula el valor de $f(-2)$ sabiendo que $f(2) = -2$.

La gráfica a continuación representa la función $g(x)$. Identifica visualmente su simetría y halla $g(-3)$ si sabemos que $g(3) = 2$.

Clasifica las siguientes funciones elementales como pares, impares o sin simetría: $y = x$, $y = x^2$, $y = \frac{1}{x}$, $y = |x|$.

Una función $f(x)$ pasa por el punto $(2, 5)$. Si sabemos que es una función par, ¿por qué otro punto debe pasar obligatoriamente? ¿Y si fuera una función impar?

Razona si el producto de una función par por una función impar da como resultado una función par, impar o sin simetría. Puedes utilizar ejemplos sencillos como $x^2$ y $x$ para ilustrar tu conclusión.

El cable principal de un puente colgante adopta la forma de una parábola descrita por la función $f(x) = 0,05x^2 + 10$, donde $x$ es la distancia horizontal en metros desde el centro del puente. Comprueba analíticamente su simetría y explica qué significado físico tiene este resultado para la estructura del puente.

El perfil de una pala de un aerogenerador se modeliza mediante una función impar de la forma $f(x) = ax^3$. Si el extremo de la pala se encuentra en las coordenadas $(15, 30)$ en cm, ¿en qué coordenadas se encontrará el extremo opuesto? Calcula además el valor del parámetro $a$.

Estudia algebraicamente la simetría de la función $f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{x^2+4}}$.

Demuestra algebraicamente si la función exponencial combinada $f(x) = \frac{3^x - 3^{-x}}{2}$ es par, impar o ninguna de las dos.

La siguiente gráfica muestra únicamente la parte correspondiente a $x \ge 0$ de una función $f(x)$. Si se sabe que la función es impar, describe cómo sería la parte que falta en el intervalo $x < 0$ y determina las coordenadas de los vértices en el lado negativo.

Calcula el valor que debe tomar el parámetro $k$ para que la función $f(x) = 2x^2 + kx + 5$ sea una función par en todo su dominio.

La variación de temperatura en una cámara de pruebas se rige por la función $T(t) = \frac{12t}{t^2 + 4}$ para $t \in [-5, 5]$, donde $t$ es el tiempo en horas y $T$ la temperatura en grados Celsius. Determina la simetría de la función e interpreta qué ocurre con las temperaturas en los instantes $t = 3$ y $t = -3$.

Dadas dos funciones, $f(x)$ par y $g(x)$ impar, analiza la simetría de la función suma $h(x) = f(x) + g(x)$. Compruébalo utilizando las funciones $f(x) = x^2$ y $g(x) = x$.

Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función racional $f(x) = \frac{ax^3 + b}{x^2 - 1}$ sea impar y pase por el punto $(2, \frac{16}{3})$.

Demuestra que cualquier función $f(x)$ definida en $\mathbb{R}$ se puede expresar como la suma de una función par y una función impar. (Pista: considera las expresiones $\frac{f(x)+f(-x)}{2}$ y $\frac{f(x)-f(-x)}{2}$).

Un arco arquitectónico se modeliza mediante la función $y = \frac{k}{e^{cx} + e^{-cx}}$. Demuestra que este arco es simétrico respecto al eje de ordenadas independientemente del valor de $c$. Si la altura máxima del arco en $x = 0$ es de $10$ metros, halla el valor de $k$.

Determina algebraicamente el tipo de simetría de la función logarítmica $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$. Ten en cuenta las propiedades de los logaritmos.

Encuentra los valores de los parámetros $m$ y $n$ que hacen que la función polinómica $f(x) = x^4 + (m-2)x^3 + nx^2 + (n+1)x + 5$ sea simétrica respecto al eje de ordenadas.

El campo magnético $B(x)$ creado por un hilo conductor recto e indefinido a una distancia $x$ viene dado por $B(x) = \frac{\mu_0 I}{2\pi x}$. Comprueba la paridad de esta función. ¿Qué interpretación física tiene el hecho de que la función sea impar al evaluar el campo en una posición $x$ y en su opuesta $-x$?

Si $f(x)$ es una función par y $g(x)$ es una función cualquiera, determina de forma razonada la simetría de la función compuesta $k(x) = g(f(x))$. ¿Se puede afirmar lo mismo de la función $h(x) = f(g(x))$?

Una función par $f(x)$ está formada por segmentos rectos. En el primer cuadrante, encierra un triángulo con los vértices $(0, 4)$, $(3, 0)$ y el origen de coordenadas. A partir de la gráfica mostrada para $x \ge 0$, deduce la ecuación de $f(x)$ para todo su dominio expresada como función a trozos y calcula el área total encerrada por la función y el eje de abscisas.