Ejercicios: Cómo se nos presentan las funciones

Observa las siguientes gráficas e indica cuáles de ellas corresponden a la representación de una función matemática y cuáles no. Justifica tu respuesta utilizando la regla de la línea vertical.

Expresa mediante una fórmula algebraica la siguiente relación descrita verbalmente: "El coste $C$ de comprar $x$ kilogramos de manzanas si cada kilo cuesta $1,80$ € y la bolsa de plástico para llevarlas cuesta $0,10$ €."

Determina la expresión algebraica de la función lineal que relaciona las variables $x$ e $y$ dadas en la siguiente tabla de valores:

• $x$: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$

• $y$: $5$, $7$, $9$, $11$, $13$

Dada la función definida por la fórmula $f(x) = \frac{x^2 - 1}{2}$, construye una tabla de valores para $x \in \{-3, -1, 0, 1, 3\}$.

A partir de la siguiente gráfica, construye una tabla de valores para las coordenadas $x \in \{-4, -2, 0, 2, 4\}$.

Observa las siguientes tablas de valores y determina cuál de ellas representa una función y cuál no. Justifica tu respuesta indicando la condición que debe cumplir una relación para ser función.

Tabla A:

• $x$: $-2$, $0$, $2$, $2$, $4$

• $y$: $4$, $0$, $3$, $5$, $16$

Tabla B:

• $x$: $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$

• $y$: $4$, $1$, $0$, $1$, $4$

Un aparcamiento de pago cobra una tarifa base de $2$ € por entrar y $1,50$ € por cada hora de estancia. Crea una tabla de valores que muestre el coste total para estancias de $0$, $1$, $2$, $3$ y $4$ horas.

Analiza las siguientes descripciones verbales y decide cuáles definen una función matemática (donde a cada elemento inicial le corresponde un único elemento final):

1. a) A cada persona se le asocia su número de DNI.
2. b) A cada número de pie (talla de calzado) se le asocia una persona que lo calza.
3. c) A cada número real se le asocia su cuadrado.
4. d) A cada número real positivo se le asocia su raíz cuadrada.

Dos compañías telefónicas ofrecen diferentes tarifas mensuales. La compañía Alpha cobra una cuota fija de $5$ € más $0,10$ € por cada minuto de llamada. La compañía Beta no tiene cuota fija, pero cobra $0,15$ € por minuto.

1. Escribe la expresión algebraica del coste mensual para cada compañía en función de los minutos consumidos $x$.

2. Calcula cuánto pagarías en cada compañía si consumes $120$ minutos en un mes.

3. Encuentra algebraicamente a partir de cuántos minutos resulta más barata la compañía Alpha.

Se dispone de un hilo de alambre de $30$ cm de longitud con el que se quiere formar un rectángulo.

1. Expresa el área del rectángulo $A(x)$ en función de la medida de su base $x$.

2. ¿Cuál es el dominio lógico de esta función en el contexto del problema? Es decir, ¿qué valores reales puede tomar la base $x$ para que el rectángulo exista?

La siguiente gráfica muestra la evolución de la temperatura en el exterior de una estación meteorológica a lo largo de un día completo ($24$ horas). A partir de la gráfica, responde:

1. ¿Cuáles son las temperaturas máxima y mínima alcanzadas, y a qué hora se producen?

2. Indica los intervalos de tiempo en los que la temperatura asciende y en los que desciende.

Relaciona cada una de las siguientes fórmulas algebraicas con la tabla de valores que le corresponde:

Fórmulas:

1. $y = 2x - 3$

2. $y = x^2 + 1$

3. $y = \frac{12}{x}$

Tablas:

• Tabla A: $(-2, 5)$, $(0, 1)$, $(2, 5)$, $(3, 10)$

• Tabla B: $(-2, -6)$, $(2, 6)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$

• Tabla C: $(-1, -5)$, $(0, -3)$, $(2, 1)$, $(4, 5)$

En un experimento de física, se deja caer una piedra desde un puente situado a $45$ metros de altura sobre un río. La altura $h$ de la piedra respecto al agua, medida en metros, en función del tiempo $t$ en segundos, viene dada por la expresión $h(t) = 45 - 5t^2$.

1. Construye una tabla de valores para $t = 0$, $t = 1$, $t = 2$ y $t = 3$.

2. ¿En qué instante de tiempo exacto impacta la piedra contra el agua?

Identifica cuáles de las siguientes ecuaciones relacionan $x$ e $y$ de forma que $y$ sea una función de $x$. Justifica tu respuesta despejando la variable $y$ cuando sea posible.

1. a) $3x + 2y = 6$
2. b) $x^2 + y^2 = 25$
3. c) $y = x^3 - 2$

Un servicio de taxi cobra una bajada de bandera de $2,50$ € y un suplemento de $1,20$ € por cada kilómetro recorrido.

1. Escribe la expresión analítica de la función que da el precio del viaje en función de los kilómetros recorridos.

2. Si un cliente ha pagado $14,50$ € al llegar a su destino, ¿cuántos kilómetros ha recorrido el taxi?

Traduce la siguiente situación a una expresión algebraica definida a trozos: "Un bono de transporte para jóvenes cuesta $20$ € al mes y permite realizar hasta $30$ viajes sin coste adicional. A partir del viaje número $31$, se cobra $0,50$ € por cada viaje extra realizado." Sea $x$ el número total de viajes realizados en el mes y $C(x)$ el coste mensual total.

Observa la gráfica de la función $f(x)$ que está formada por tres tramos: un trozo de hipérbola, un segmento rectilíneo y un trozo de curva exponencial.

1. a) Determina, fijándote en la cuadrícula (1 unidad = 1 cuadro), el dominio y el recorrido de la función.
2. b) Identifica la ecuación de la asíntota vertical marcada en rojo y los puntos de discontinuidad.
3. c) Sabiendo que el primer tramo es de la forma $y = \frac{k}{x+2}$, el segundo es lineal y el tercero es de la forma $y = a^{x-3}$, determina la expresión analítica completa de la función $f(x)$ definida a trozos.

Se dispone de una plancha de cartón cuadrada de $40$ cm de lado. Se quiere construir una caja sin tapa cortando un cuadrado de lado $x$ en cada una de las cuatro esquinas y doblando las solapas resultantes hacia arriba.

1. Expresa el volumen de la caja, $V(x)$, en función del lado $x$ del cuadrado recortado.

2. Determina el dominio de definición de esta función en el contexto geométrico del problema.

Las tarifas de un aparcamiento público indican que se cobrará $2$ € por la primera hora o fracción de hora, y $1,50$ € por cada hora o fracción de hora adicional.

1. Construye una tabla de valores que muestre el coste de aparcar para los tiempos $t \in \{0,5; 1; 1,5; 2; 2,5\}$ horas.

2. Explica por qué la representación gráfica de esta situación corresponde a una función escalonada (función a trozos constante por intervalos).

A partir de la gráfica de la siguiente función definida a trozos, encuentra la expresión algebraica (fórmula) que corresponde a cada uno de los tres tramos rectos que la componen.

Un teatro dispone de $500$ butacas. Se ha comprobado que, si el precio de la entrada es de $20$ €, el teatro se llena por completo. Además, un estudio de mercado estima que por cada incremento de $5$ € en el precio de la entrada, se venden $40$ butacas menos.

Expresa los ingresos totales del teatro, $I(x)$, en función del número de incrementos de $5$ € aplicados al precio original (es decir, $x$ representa la cantidad de veces que se sube el precio en $5$ €).

Observa la siguiente secuencia de figuras formadas por puntos. Determina la expresión algebraica de la función $N(s)$ que relaciona el número de la figura (paso $s$) con el número total de puntos que la componen. Utiliza la fórmula obtenida para calcular cuántos puntos tendrá la Figura 40.

Halla la expresión algebraica de la parábola representada en la gráfica sabiendo que es de la forma $y = ax^2 + bx + c$. Utiliza los puntos destacados para plantear y resolver el sistema de ecuaciones necesario.

Un ciclista $A$ sale de una ciudad hacia el este a una velocidad constante de $20$ km/h. Exactamente una hora después, un segundo ciclista $B$ sale de la misma ciudad y en la misma dirección persiguiendo al primero a una velocidad constante de $25$ km/h. Expresa la distancia $d(t)$ que separa a ambos ciclistas en función del tiempo $t$ (en horas) transcurrido desde que salió el ciclista $A$.

Un depósito de $500$ litros de capacidad contiene inicialmente $100$ litros de agua. Se abre un grifo que vierte agua a razón de $25$ litros por minuto durante $10$ minutos. A continuación, el grifo se cierra y el depósito permanece en reposo durante $5$ minutos. Finalmente, se abre un desagüe que vacía el agua a razón de $50$ litros por minuto hasta que el depósito queda completamente vacío. Escribe la expresión analítica a trozos de la función volumen $V(t)$ que indica la cantidad de agua en el depósito en el instante $t$ (en minutos).