Ejercicios: Tabla de frecuencia

En una encuesta a $20$ estudiantes se ha preguntado por el número de hermanos ($X$) y el número de mascotas ($Y$). Los resultados se recogen en la siguiente tabla de doble entrada:

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$
0	$2$	$4$	$1$
1	$3$	$5$	$2$
2	$1$	$1$	$1$

Indica cuántos estudiantes tienen exactamente $1$ hermano y $2$ mascotas, y comprueba que la suma de todas las frecuencias conjuntas coincide con el número total de estudiantes encuestados.

Se ha preguntado a $10$ personas por el número de veces que van al cine al mes ($X$) y el número de libros que leen al mes ($Y$). Las respuestas obtenidas para cada individuo $(X,Y)$ han sido:

$(1, 0), (2, 1), (1, 0), (3, 2), (2, 1), (1, 1), (3, 2), (2, 0), (1, 0), (2, 1)$.

Construye la tabla de doble entrada correspondiente a estas dos variables indicando las frecuencias absolutas conjuntas.

Dada la siguiente tabla de frecuencias conjuntas que relaciona las notas de Matemáticas ($X$) y las notas de Física ($Y$) de un grupo de alumnos:

$X \setminus Y$	$5$	$6$	$7$
5	$4$	$2$	$0$
6	$1$	$5$	$3$
7	$0$	$2$	$6$

Escribe la tabla de la distribución marginal de la variable $X$ (notas de Matemáticas), indicando cada valor de $X$ y su correspondiente frecuencia marginal $f_{i\bullet}$.

A partir de la misma tabla del ejercicio anterior, que relaciona las notas de Matemáticas ($X$) y Física ($Y$):

$X \setminus Y$	$5$	$6$	$7$
5	$4$	$2$	$0$
6	$1$	$5$	$3$
7	$0$	$2$	$6$

Escribe la tabla de la distribución marginal de la variable $Y$ (notas de Física), indicando cada valor de $Y$ y su frecuencia marginal $f_{\bullet j}$.

Completa los totales marginales (filas y columnas) de la siguiente tabla de contingencia que relaciona el número de horas de estudio diario ($X$) y el número de asignaturas suspensas ($Y$):

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$	Total $X$
1	$1$	$3$	$2$
2	$4$	$1$	$0$
3	$0$	$2$	$2$
Total $Y$

Copia la tabla en tu cuaderno y rellena las casillas vacías con las sumas correspondientes.

La siguiente tabla muestra la relación entre la edad de varios jóvenes ($X$) y el número de horas que dedican a hacer deporte a la semana ($Y$):

$X \setminus Y$	$2$	$4$	$6$
14	$5$	$3$	$1$
15	$2$	$6$	$4$
16	$1$	$2$	$5$

Escribe la distribución condicionada del número de horas de deporte ($Y$) para los jóvenes que tienen exactamente $15$ años ($X=15$).

En un estudio sobre familias, se ha registrado el número de coches ($X$) y el número de bicicletas ($Y$). Sabemos que la variable $X$ toma los valores $0, 1, 2$ y la variable $Y$ toma los valores $0, 1$. Construye la tabla de doble entrada sabiendo que:

• Hay $2$ familias con $(0,0)$ y $3$ familias con $(0,1)$.

• Hay $4$ familias con $(1,0)$ y $5$ familias con $(1,1)$.

• Hay $1$ familia con $(2,0)$ y $0$ familias con $(2,1)$.

Dada la siguiente distribución marginal de la variable $X$ con frecuencias absolutas $f_i$:

$X$	$1$	$2$	$3$
$f_i$	$4$	$5$	$1$

Si sabemos que la variable $Y$ solo toma el valor $Y=2$ para todos los individuos de la muestra, construye la tabla de doble entrada completa para la distribución conjunta de $(X,Y)$.

Una tabla de doble entrada muestra la relación entre el número de goles marcados ($X$) y los goles recibidos ($Y$) por un equipo de fútbol en varios partidos. Algunas celdas interiores se han borrado, pero se conservan los totales marginales.

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$	Total $X$
0	$2$	$a$	$0$	$5$
1	$b$	$3$	$1$	$8$
2	$1$	$1$	$c$	$4$
Total $Y$	$7$	$7$	$3$	$17$

Calcula los valores desconocidos $a$, $b$ y $c$ para que la tabla sea coherente.

La siguiente tabla relaciona la cantidad de fertilizante en gramos ($X$) y la altura de la planta en centímetros ($Y$) tras un mes de crecimiento:

$X \setminus Y$	$10$	$15$	$20$
5	$2$	$4$	$1$
10	$1$	$5$	$3$
15	$0$	$2$	$6$

Calcula la distribución marginal de la altura de las plantas ($Y$) y halla su media aritmética marginal $\bar{y}$.

Utilizando la tabla del ejercicio anterior sobre fertilizante ($X$) y altura ($Y$):

$X \setminus Y$	$10$	$15$	$20$
5	$2$	$4$	$1$
10	$1$	$5$	$3$
15	$0$	$2$	$6$

Calcula la media condicionada de la altura de las plantas sabiendo que se les aplicó exactamente $10\text{ g}$ de fertilizante (es decir, calcula $\bar{y}_{X=10}$).

En un estudio económico se relaciona el nivel de ingresos mensuales en miles de euros ($X$) y el gasto en ocio en cientos de euros ($Y$) de varias familias.

$X \setminus Y$	$1$	$2$	$3$
1	$12$	$6$	$2$
2	$5$	$10$	$5$
3	$1$	$4$	$5$

Responde a las siguientes preguntas calculando los porcentajes correspondientes:

1. a) ¿Qué porcentaje del total de familias encuestadas tiene unos ingresos de $2$ mil euros y gasta $3$ cientos de euros en ocio?
2. b) ¿Qué porcentaje de las familias que ingresan $3$ mil euros gastan $2$ cientos de euros en ocio?

Las estaturas en centímetros ($X$) y el número de medallas obtenidas ($Y$) de un grupo de atletas se han recogido en la siguiente tabla, estando la variable $X$ agrupada en intervalos:

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$
$[160, 170)$	$6$	$3$	$1$
$[170, 180)$	$4$	$8$	$2$
$[180, 190)$	$2$	$5$	$9$

Obtén la distribución marginal de las estaturas ($X$) y calcula su media aritmética marginal $\bar{x}$, utilizando las marcas de clase de cada intervalo.

Dada la siguiente tabla de doble entrada sobre el número de días de lluvia a la semana ($X$) y el número de accidentes de tráfico diarios ($Y$) en una ciudad:

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$
1	$10$	$4$	$1$
2	$5$	$8$	$2$
3	$2$	$6$	$12$

Calcula la varianza marginal de la variable $Y$ (accidentes de tráfico).

A partir de los mismos datos del ejercicio anterior sobre días de lluvia ($X$) y accidentes ($Y$):

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$
1	$10$	$4$	$1$
2	$5$	$8$	$2$
3	$2$	$6$	$12$

Calcula la varianza condicionada del número de accidentes de tráfico ($Y$) cuando el número de días de lluvia es exactamente $X=3$.

El siguiente diagrama de dispersión muestra las calificaciones obtenidas en dos pruebas de aptitud, $X$ e $Y$, por un grupo de candidatos. Los números dentro de los círculos indican la frecuencia absoluta conjunta (el número de candidatos que obtuvieron esa pareja de puntuaciones). Construye la tabla de doble entrada asociada a este gráfico y calcula la media marginal de la prueba $X$.

En una tabla de doble entrada que relaciona dos variables $X$ e $Y$, la frecuencia de la celda para $X=2$ e $Y=3$ es un valor desconocido $k$.

$X \setminus Y$	$1$	$2$	$3$
1	$4$	$5$	$2$
2	$1$	$3$	$k$
3	$2$	$6$	$1$

Si sabemos que el tamaño total de la muestra es $N=30$, determina el valor de $k$ y, a continuación, calcula la desviación típica marginal de la variable $X$.

La siguiente tabla relaciona las horas de entrenamiento semanal ($X$) y el tiempo en una carrera en minutos ($Y$). Dos frecuencias absolutas conjuntas, $a$ y $b$, son desconocidas.

$X \setminus Y$	$15$	$20$	$25$
2	$4$	$2$	$1$
4	$a$	$5$	$3$
6	$1$	$b$	$4$

Sabemos que en total hay $N=40$ atletas en el estudio y que la media marginal de horas de entrenamiento es $\bar{x} = 4,25$. Plantea un sistema de ecuaciones lineales y halla los valores exactos de $a$ y $b$.

Dada la siguiente tabla de contingencia bidimensional para las variables discretas $X$ e $Y$:

$X \setminus Y$	$2$	$4$	$6$
10	$1$	$3$	$0$
20	$2$	$5$	$2$
30	$0$	$2$	$5$

Calcula la covarianza $\sigma_{xy}$ de la distribución conjunta. Recuerda que la fórmula de la covarianza es $\sigma_{xy} = \frac{\sum x_i y_j f_{ij}}{N} - \bar{x}\bar{y}$.

Un estudio económico agrupa tanto la variable $X$ (gasto en publicidad en miles de euros) como la variable $Y$ (ventas en miles de euros) en intervalos de clase.

$X \setminus Y$	$[10, 20)$	$[20, 30)$	$[30, 40)$
$[0, 2)$	$2$	$5$	$1$
$[2, 4)$	$3$	$8$	$4$
$[4, 6)$	$0$	$2$	$5$

Utilizando las marcas de clase de cada intervalo, calcula las medias marginales $\bar{x}$ e $\bar{y}$, y la covarianza de la distribución bidimensional.

Demuestra numéricamente una propiedad fundamental de las medias condicionadas utilizando la siguiente tabla:

$X \setminus Y$	$1$	$3$	$5$
2	$3$	$1$	$0$
4	$1$	$4$	$1$
6	$0$	$2$	$8$

Primero, calcula las medias condicionadas de $Y$ para cada valor de $X$: $\bar{y}_{X=2}$, $\bar{y}_{X=4}$ y $\bar{y}_{X=6}$. A continuación, calcula la media marginal $\bar{y}$ y comprueba que se cumple la relación de la media ponderada: $\bar{y} = \frac{\sum \bar{y}_{X=x_i} \cdot f_{i\bullet}}{N}$.

Reconstruye una tabla de doble entrada para las variables $X$ (número de averías en una máquina) e $Y$ (línea de producción: $1$ o $2$). Se conocen los siguientes datos:

• La distribución marginal de $X$ toma los valores $0, 1, 2$ con frecuencias marginales $f_{0\bullet} = 20$, $f_{1\bullet} = 15$ y $f_{2\bullet} = 5$.

• La distribución condicionada de $Y$ dado $X=0$ es equiprobable (la mitad de las averías corresponde a la línea $1$ y la otra mitad a la línea $2$).

• Para $X=1$, ocurren el doble de averías en la línea $1$ que en la línea $2$.

• Para $X=2$, todas las averías ocurren en la línea $2$.

Dibuja la tabla de doble entrada con todas las frecuencias absolutas conjuntas $f_{ij}$.

En una clase, las calificaciones obtenidas en la primera evaluación ($X$) y en la segunda evaluación ($Y$) se recogen en la siguiente tabla de doble entrada:

$X \setminus Y$	$4$	$6$	$8$
4	$2$	$3$	$0$
6	$1$	$5$	$2$
8	$0$	$1$	$6$

Se define una nueva variable unidimensional $Z = X + Y$, que representa la suma de las notas de ambas evaluaciones. A partir de la tabla bidimensional, construye la tabla de frecuencias absolutas de la variable $Z$ y calcula su media aritmética $\bar{z}$.

Una máquina envasadora clasifica los productos según su peso en gramos ($X$) y su longitud en milímetros ($Y$). En lugar de las frecuencias absolutas, se proporciona la siguiente tabla de frecuencias relativas conjuntas $h_{ij} = \frac{f_{ij}}{N}$:

$X \setminus Y$	$10$	$20$	$30$
100	$0,10$	$0,20$	$0,15$
200	$0,05$	$0,30$	$0,20$

Si sabemos que la frecuencia absoluta marginal para los productos que pesan $100\text{ g}$ es $f_{100\bullet} = 45$, determina el número total de productos evaluados $N$ y reconstruye la tabla de frecuencias absolutas conjuntas $f_{ij}$.