Ejercicios: Covarianza

En un estudio bidimensional sobre $25$ individuos, se han obtenido las medias $\bar{x} = 8$ y $\bar{y} = 15$. Sabiendo que la suma de los productos de las variables es $\sum x_i y_i = 3200$, calcula la covarianza $s_{xy}$.

Dada la siguiente tabla con tres pares de valores correspondientes a las variables $X$ e $Y$:

Calcula el centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$ y la covarianza de la distribución.

En una investigación sobre el rendimiento deportivo, se relaciona el número de horas semanales de entrenamiento ($X$) con el tiempo en minutos que un atleta tarda en completar una carrera de $10$ km ($Y$). ¿Qué signo esperas que tenga la covarianza $s_{xy}$? Razona brevemente tu respuesta.

Para un conjunto de $40$ datos bidimensionales, se sabe que $\bar{x} = 12$, $\bar{y} = 25$ y la covarianza es $s_{xy} = -8,5$. Halla el valor de la suma de los productos $\sum x_i y_i$.

En un experimento de termodinámica, la covarianza entre la presión y el volumen de un gas en ciertas condiciones es $s_{xy} = -15,4$. Si para facilitar los cálculos el investigador decide sumar $2$ a todos los valores de presión y restar $5$ a todos los valores de volumen, ¿cuál será el nuevo valor de la covarianza?

Calcula la covarianza de la siguiente distribución bidimensional expresada en una tabla de frecuencias absolutas $f_i$:

Al estudiar la relación entre la cantidad de fertilizante aplicado a una planta (en gramos) y su crecimiento semanal (en milímetros), se obtiene una covarianza de $24,6$. ¿Qué indica el signo de este parámetro estadístico sobre la relación entre el fertilizante y el crecimiento?

El centro de gravedad de una distribución bidimensional es $(5, 9)$. Si la media aritmética de los productos de los valores de ambas variables es $\frac{\sum x_i y_i}{N} = 42$, determina el valor de la covarianza.

Se ha medido la temperatura $X$ (en $^\circ\text{C}$) y la resistencia $Y$ (en MPa) de un nuevo material plástico en $5$ ensayos distintos, obteniendo los siguientes resultados:

Calcula la covarianza de esta distribución bidimensional e interpreta su signo en el contexto del problema.

En un estudio de arquitectura, la covarianza entre la longitud de una viga $X$ (medida en metros) y su deformación máxima $Y$ (medida en milímetros) es $s_{xy} = 3,5$. Si se decide expresar la longitud en centímetros ($1\text{ m} = 100\text{ cm}$) y la deformación en micrómetros ($1\text{ mm} = 1000\,\mu\text{m}$), calcula el nuevo valor de la covarianza.

Se ha realizado una encuesta a $20$ familias sobre el número de vehículos que poseen ($X$) y el número de plazas de garaje que tienen en propiedad ($Y$). Los resultados se resumen en la siguiente tabla de doble entrada:

Calcula el centro de gravedad y la covarianza $s_{xy}$.

Un conjunto de $10$ pares de datos bidimensionales tiene como medias $\bar{x} = 6$ y $\bar{y} = 8$, y su covarianza es $s_{xy} = 4$. Si se descubre que falta por incluir un undécimo par de datos que coincide exactamente con el centro de gravedad, es decir, el par $(6, 8)$, calcula la nueva covarianza del conjunto de $11$ datos.

Observa el siguiente gráfico de dispersión que representa cuatro observaciones obtenidas en un experimento de laboratorio:

A partir de las coordenadas enteras de los puntos mostrados en el gráfico, determina la tabla de valores y calcula la covarianza de la distribución.

En un estudio sobre el tiempo de uso de pantallas, se ha agrupado la edad de los encuestados ($X$) en intervalos, relacionándola con el número de dispositivos inteligentes que poseen ($Y$):

Utilizando las marcas de clase para la variable $X$, calcula la covarianza de la distribución.

De una variable estadística bidimensional $(X,Y)$ compuesta por $8$ observaciones, se conocen los siguientes datos:

$\sum x_i = 40$, $\sum y_i = 64$, y $\sum x_i y_i = 280$.

Calcula el centro de gravedad y la covarianza.

En un estudio económico sobre la relación entre la tasa de inflación ($X$, en $\%$) y la tasa de desempleo ($Y$, en $\%$) de un país durante $5$ años consecutivos, se registraron los siguientes pares de valores: $(2, 8)$, $(3, 6)$, $(4, 5)$, $(5, 4)$, $(6, 2)$. Calcula la covarianza e indica si los resultados apoyan una relación directa o inversa entre ambas tasas.

Se ha probado un nuevo fármaco en un grupo de pacientes. La variable $X$ representa la dosis administrada (en mg) y la variable $Y$ la reducción de la presión arterial (en mmHg). Los resultados se muestran en la siguiente tabla de doble entrada:

Calcula la covarianza de esta distribución y explica qué sugiere el resultado sobre la eficacia del fármaco.

Se analiza la trayectoria de un objeto mediante $5$ puntos cuyas coordenadas $(X,Y)$ son: $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$ y $(2, 4)$.

Calcula la covarianza de esta distribución bidimensional. A la vista del resultado, ¿se puede afirmar que las variables $X$ e $Y$ son estadísticamente independientes? Justifica tu respuesta relacionándola con el gráfico.

En una distribución bidimensional de $3$ pares de valores, se conocen dos de ellos: $(1, 2)$ y $(4, 6)$. El tercer par es $(2, a)$, donde $a$ es un valor desconocido. Si se sabe que la covarianza de la distribución es $s_{xy} = 2$, plantea una ecuación y halla el valor de $a$.

Dada una variable bidimensional $(X,Y)$, se sabe que existe una relación funcional lineal exacta dada por la ecuación $y_i = -3x_i + 5$ para todos los pares de la distribución. Sabiendo que la varianza de la variable $X$ es $s_x^2 = 4$, demuestra analíticamente y calcula el valor numérico de la covarianza $s_{xy}$.

En una empresa, se estudia la relación entre los años de antigüedad de los empleados ($X$) y su salario mensual en cientos de euros ($Y$). Se conocen los siguientes datos: $\bar{x} = 10$, $\bar{y} = 20$, la varianza de la antigüedad es $s_x^2 = 16$ y la covarianza es $s_{xy} = 24$. Se decide crear un índice de "valoración total" definido como $Z = X + Y$. Calcula la covarianza entre la antigüedad ($X$) y este nuevo índice ($Z$).

Un equipo de biólogos ha medido el peso $X$ (en kg) y la longitud $Y$ (en cm) de una especie de reptil, obteniendo una covarianza $s_{xy} = 45$. Para una publicación internacional, deciden transformar los datos: el peso se expresará en libras ($1\text{ kg} = 2,2\text{ lb}$) y la longitud en metros ($1\text{ m} = 100\text{ cm}$). Además, por un ajuste del equipo de medición, restan $0,5\text{ m}$ a todas las longitudes. ¿Cuál será el valor de la covarianza con las nuevas unidades?

Un departamento de marketing analiza el gasto en publicidad $X$ (en miles de €) y las ventas generadas $Y$ (en miles de €) en $10$ campañas distintas. Se dispone de las siguientes sumas:

$\sum x_i = 150$, $\sum y_i = 800$, $\sum x_i^2 = 2500$, $\sum y_i^2 = 70000$, $\sum x_i y_i = 12500$.

Calcula la covarianza original. Si para el próximo año se decide que todos los gastos en publicidad aumentarán un $10\%$ y las ventas esperadas aumentarán un $20\%$, ¿cuál será la covarianza estimada de los datos transformados?

Un conjunto de datos bidimensionales consta de los siguientes $5$ puntos fuertemente agrupados: $(1, 1)$, $(2, 2)$, $(2, 1)$, $(3, 2)$, $(3, 3)$; y un punto atípico: $(13, 15)$.

Calcula la covarianza del conjunto completo de los $6$ puntos. A continuación, calcula la covarianza excluyendo el punto atípico y compara los resultados para explicar la sensibilidad de la covarianza ante valores extremos.