Ejercicios: Población y muestra

Una fábrica de componentes electrónicos produce un lote de $5000$ resistencias. Para comprobar su calidad, el departamento de control selecciona y analiza $150$ resistencias. Identifica la población, la muestra, el individuo y el tamaño de la muestra en este estudio estadístico.

Clasifica las siguientes variables estadísticas en cualitativas, cuantitativas discretas o cuantitativas continuas:

• El color del pelaje de una especie de zorro.

• El número de satélites naturales de los planetas del sistema solar.

• La masa en kilogramos de los envíos postales de una empresa de paquetería.

• La marca de los ordenadores de un aula de informática.

En un municipio de $24000$ habitantes se quiere realizar un estudio sobre los hábitos de lectura. Para ello, se entrevista a $800$ ciudadanos. Determina cuál es la población de estudio, cuál es la muestra y cuál es el tamaño muestral.

Una empresa de software quiere conocer la opinión de sus usuarios sobre una nueva actualización de su aplicación. Explica brevemente en qué situación la empresa realizaría un censo y en qué situación realizaría un estudio muestral.

En una reserva natural habitan $3400$ ciervos. Un equipo de biólogos decide tomar una muestra equivalente al $15\%$ de la población para realizar un estudio de salud. Calcula el tamaño de la muestra que deben seleccionar.

Indica si las siguientes variables cuantitativas son discretas o continuas:

1. a) El volumen de agua en un embalse medido en hectómetros cúbicos.
2. b) El número de pulsaciones por minuto de un atleta tras una carrera.
3. c) La temperatura máxima diaria registrada en una ciudad.
4. d) El número de pasajeros de un vuelo comercial.

Para realizar un control de calidad en una fábrica de refrescos, se extraen $45$ latas de una producción total de $1800$ latas diarias. ¿Qué porcentaje de la producción total representa la muestra seleccionada?

Un equipo de nutricionistas mide la cantidad de azúcar, en gramos, que contienen diferentes marcas de cereales de un supermercado. Identifica cuál es la variable estadística del estudio y de qué tipo es.

En un centro de educación secundaria hay $120$ alumnos en 1º ESO, $100$ en 2º ESO, $90$ en 3º ESO y $50$ en 4º ESO. Se desea extraer una muestra de $72$ alumnos mediante un muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional. Calcula cuántos alumnos de 3º ESO deben formar parte de la muestra.

El ayuntamiento de una ciudad quiere conocer la opinión de los ciudadanos sobre la construcción de un nuevo carril bici en el centro. Para ello, un encuestador se sitúa en la puerta de una tienda de bicicletas y entrevista a $150$ personas que salen de ella. Analiza si la muestra seleccionada es representativa de la población de la ciudad y explica qué tipo de sesgo se está cometiendo en el diseño del estudio.

En una cadena de montaje se han fabricado $1200$ teléfonos móviles en un día. Se quiere realizar un control de calidad seleccionando una muestra de $40$ teléfonos mediante un muestreo sistemático. Si el primer teléfono seleccionado al azar es el que ocupa la posición $14$, determina el coeficiente de elevación, y las posiciones de los tres primeros y del último teléfono seleccionado en la muestra.

Una granja avícola tiene tres naves con gallinas ponedoras: la nave A tiene $4500$ gallinas, la nave B tiene $3000$ y la nave C tiene $2500$. Se quiere extraer una muestra de $200$ gallinas utilizando un muestreo estratificado con afijación proporcional. Determina el tamaño de la muestra que corresponde a cada una de las tres naves.

Se quiere estimar el tiempo medio de uso diario de redes sociales por parte de los adolescentes de toda una comunidad autónoma. Para ello, se selecciona aleatoriamente a $200$ alumnos de un instituto privado situado en el barrio de mayor poder adquisitivo de la capital. Justifica por qué esta muestra no es representativa de la población y propón un método de muestreo más adecuado.

En un estudio de ecología marina se registran las siguientes características de una población de delfines:

1. a) Especie a la que pertenece.
2. b) Longitud del cuerpo en metros.
3. c) Número de crías que ha tenido a lo largo de su vida.
4. d) Nivel de riesgo de extinción (Bajo, Vulnerable, En peligro).

Clasifica detalladamente cada variable estadística. En el caso de las variables cualitativas, indica expresamente si son ordinales o nominales.

Una empresa encuestadora ha seleccionado una muestra de $630$ personas para un estudio de mercado. Si se sabe que esta muestra representa exactamente el $3,5\%$ de la población objetivo, calcula el tamaño total de la población de estudio.

El siguiente esquema representa un proceso de muestreo estratificado con afijación proporcional.

Si la población total está formada por $2400$ individuos, calcula el porcentaje y el tamaño de la población del estrato naranja. Si la muestra total es de $160$ individuos, determina cuántos individuos de cada color componen la muestra.

En un municipio dividido en tres distritos (Norte, Sur y Centro), se ha realizado una encuesta utilizando un muestreo estratificado con afijación proporcional. La muestra total es de $300$ personas, de las cuales $120$ pertenecen al distrito Norte y $75$ al distrito Sur. Si la población total del municipio es de $18000$ habitantes, calcula la población de cada uno de los tres distritos.

Una base de datos contiene los registros de $N = 2520$ clientes. Se desea extraer una muestra de tamaño $n = 45$ mediante un muestreo sistemático. El arranque aleatorio determina que el primer cliente seleccionado es el que ocupa la posición $a = 23$.

Encuentra una expresión algebraica general para la posición del individuo $i$-ésimo de la muestra (para $1 \le i \le 45$) y determina qué posición en la base de datos ocupa el cliente que fue seleccionado en el lugar número $32$ de la muestra.

En una empresa tecnológica, la plantilla se divide en tres categorías: el $50\%$ son programadores, el $30\%$ son diseñadores y el resto son directivos. Se realiza un estudio de clima laboral seleccionando una muestra mediante muestreo estratificado con afijación proporcional. Si en la muestra hay exactamente $16$ directivos, ¿cuál es el tamaño total de la muestra y cuántos programadores y diseñadores la componen?

Una cadena de televisión nacional quiere predecir el resultado de un importante referéndum legislativo. Para ello, durante un programa de debate en horario de máxima audiencia, pide a los espectadores que llamen a un número de teléfono de pago o envíen un SMS para votar por su opción preferida. Se reciben más de $100000$ respuestas.

Identifica y explica al menos tres fuentes de sesgo (errores sistemáticos) en este diseño de muestreo y razona por qué, a pesar del enorme tamaño de la muestra, los resultados probablemente no sean representativos de la población general.

Una fábrica dispone de dos máquinas, A y B, para la producción de engranajes. Se sabe que la máquina A produce el $65\%$ del total diario. El departamento de calidad toma una muestra estratificada con afijación proporcional de $180$ engranajes para evaluar la precisión de corte. Si la máquina B produce $1400$ engranajes al día, calcula el tamaño de la población total diaria y el número de engranajes de cada máquina que componen la muestra.

En un estudio sobre la adopción de una nueva tecnología, la población de una empresa se divide en tres departamentos, cuyas plantillas vienen dadas por expresiones algebraicas en función de $x$. Se toma una muestra mediante muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional de tamaño $130$.

Sabiendo que en la muestra hay exactamente $50$ empleados del departamento de Ventas, plantea una ecuación para determinar el valor de $x$, calcula la población total de la empresa y el tamaño de la muestra correspondiente a los departamentos de Marketing y Desarrollo.

En un observatorio astronómico se registran las siguientes características de un catálogo de exoplanetas:

A) Distancia a la estrella anfitriona (en Unidades Astronómicas).

B) Tipo de planeta (Rocoso, Gigante gaseoso, Gigante helado).

C) Número de lunas confirmadas.

D) Temperatura media estimada (en grados Kelvin).

Clasifica rigurosamente cada una de estas variables. Para las variables cuantitativas, determina en qué casos tiene sentido estadístico calcular la media aritmética y en cuáles la mediana podría ser una medida de centralización más representativa si existieran valores atípicos extremos.

Las autoridades educativas de una región quieren evaluar el nivel de inglés de los estudiantes de 4º ESO. En la región hay $25$ institutos, cada uno con exactamente $120$ alumnos matriculados en ese curso. Se requiere una muestra total de $600$ alumnos. Se proponen dos métodos de muestreo:

• Método A: Elegir al azar $5$ institutos y evaluar a todos sus alumnos de 4º ESO.

• Método B: Elegir al azar $24$ alumnos de 4º ESO de cada uno de los $25$ institutos.

Identifica el tipo de muestreo que se aplica en cada método y argumenta cuál de los dos diseños garantiza una mayor representatividad de la población total, explicando las posibles desventajas del método que descartes.