Ejercicios: Diagramas de caja

Las notas de un grupo de $9$ estudiantes en un examen de matemáticas son: $3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10$.

Determina el valor mínimo, el primer cuartil ($Q_1$), la mediana ($Me$), el tercer cuartil ($Q_3$) y el valor máximo para construir un diagrama de caja.

El siguiente diagrama de caja representa las edades de los visitantes a un museo durante una mañana.

A partir del gráfico, indica cuál es la edad mínima, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil y la edad máxima de los visitantes.

El resumen de cinco números de los pesos (en kg) de los perros atendidos en una clínica veterinaria es: Mínimo = $5$, $Q_1 = 12$, Mediana = $18$, $Q_3 = 24$, Máximo = $35$.

Calcula el rango de la distribución y el rango intercuartílico (RIC).

En un diagrama de caja que representa el tiempo (en minutos) que tardan los alumnos en llegar al instituto, el primer cuartil es $15$ y el tercer cuartil es $30$.

¿Qué porcentaje exacto de los alumnos tarda entre $15$ y $30$ minutos en llegar al instituto?

Un diagrama de caja muestra que la distancia entre el primer cuartil y la mediana es de $2$ unidades, mientras que la distancia entre la mediana y el tercer cuartil es de $10$ unidades.

¿Qué indica esta diferencia sobre la distribución y concentración de los datos en la parte central?

Los precios (en euros) de $11$ libros en una estantería son: $12, 15, 15, 18, 20, 21, 24, 25, 28, 30, 35$.

Calcula los cinco valores necesarios para trazar su diagrama de caja.

Indica si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y justifica brevemente tu respuesta:

"En cualquier diagrama de caja, la media aritmética siempre coincide exactamente con la línea vertical interior que divide la caja."

En un diagrama de caja, el bigote izquierdo (del mínimo al $Q_1$) es muy corto, mientras que el bigote derecho (del $Q_3$ al máximo) es extremadamente largo.

¿Qué significa esto respecto a la dispersión de los datos en los extremos de la distribución?

El siguiente gráfico muestra los diagramas de caja de la duración de la batería (en horas) de dos marcas de teléfonos móviles, Alpha y Beta.

1. a) ¿Qué marca tiene una mayor mediana en la duración de su batería?
2. b) ¿Cuál de las dos marcas presenta una mayor variabilidad en el $50\%$ central de sus datos (mayor rango intercuartílico)?

Un equipo de baloncesto ha anotado los siguientes puntos en sus últimos $15$ partidos:

$65, 72, 78, 81, 82, 85, 88, 90, 92, 95, 98, 101, 105, 108, 112$.

Halla el resumen de cinco números y calcula el rango intercuartílico.

Un diagrama de caja resume las estaturas de $120$ atletas. Si el tercer cuartil ($Q_3$) es $185$ cm y el valor máximo es $205$ cm, ¿cuántos atletas aproximadamente tienen una estatura superior a $185$ cm? Asume que no hay valores repetidos que coincidan exactamente con los cuartiles.

En un estudio sobre el número de pulsaciones por minuto de un grupo de atletas en reposo, se obtuvo el siguiente resumen: $Q_1 = 48$, $Me = 52$, $Q_3 = 58$.

Uno de los atletas registró $75$ pulsaciones por minuto. Utilizando el criterio matemático del rango intercuartílico (un valor es atípico si es mayor que $Q_3 + 1,5 \cdot RIC$), determina si este valor debe representarse como un dato atípico en el diagrama de caja.

La siguiente tabla de frecuencias muestra el número de hermanos de los alumnos de una clase:

• $0$ hermanos: $6$ alumnos

• $1$ hermano: $10$ alumnos

• $2$ hermanos: $8$ alumnos

• $3$ hermanos: $4$ alumnos

• $4$ hermanos: $2$ alumnos

Determina el mínimo, $Q_1$, $Me$, $Q_3$ y el máximo para poder construir el diagrama de caja correspondiente.

Un diagrama de caja tiene una caja muy estrecha desplazada hacia el extremo izquierdo, con un bigote derecho muy largo. Si tuvieras que representar estos mismos datos en un histograma, ¿qué forma tendría la distribución? (Simétrica, sesgada a la derecha o sesgada a la izquierda). Explica brevemente por qué.

En una empresa de ingeniería, el $25\%$ de los empleados que más cobran tienen un salario mensual superior a $3500$ €. Además, el salario más bajo de la empresa es de $1200$ € y el $50\%$ de la plantilla cobra menos de $2100$ €.

Identifica a qué parámetros específicos del diagrama de caja (Mínimo, $Q_1$, $Me$, $Q_3$, Máximo) corresponden los valores $3500$ €, $1200$ € y $2100$ €.

Se ha construido un diagrama de caja con las temperaturas máximas de una ciudad en julio, obteniendo $Q_1 = 28^\circ \text{C}$, $Me = 31^\circ \text{C}$ y $Q_3 = 35^\circ \text{C}$.

Si debido a una ola de calor, al año siguiente todas las temperaturas máximas registradas aumentan exactamente $3^\circ \text{C}$, ¿cuáles serán los nuevos valores de $Q_1$, $Me$ y $Q_3$? ¿Cambiará el valor del rango intercuartílico?

Una distribución de datos es perfectamente simétrica. Se sabe que su rango es de $40$ unidades, su rango intercuartílico (RIC) es de $16$ unidades y el valor mínimo es $10$.

Calcula los valores exactos de $Q_1$, $Me$, $Q_3$ y el valor máximo.

Dado el siguiente conjunto de datos ordenados sobre el tiempo de reacción (en milisegundos) de un experimento: $120, 135, 140, 145, 150, 160, 170, x$.

Halla el valor mínimo que debe tener la incógnita $x$ para que sea considerada un valor atípico superior en el diagrama de caja. (Recuerda que para este cálculo $N=8$).

Inventa un conjunto de datos formado por exactamente $6$ números enteros positivos cuyo diagrama de caja tenga los siguientes parámetros:

Mínimo = $2$, $Q_1 = 5$, Mediana = $8$, $Q_3 = 12$, Máximo = $15$.

(Nota: Utiliza las reglas de interpolación estándar de la mediana de las mitades inferior y superior para calcular los cuartiles).

El siguiente gráfico muestra los tiempos de ejecución (en milisegundos) de tres algoritmos informáticos diferentes procesando la misma cantidad de datos.

Si necesitas elegir un algoritmo para un sistema crítico en tiempo real donde es indispensable que el tiempo de ejecución nunca supere los $60$ ms, pero al mismo tiempo quieres que el rendimiento general (mediana) sea lo más rápido posible, ¿qué algoritmo elegirías y por qué? Justifica tu respuesta descartando los otros dos.

Los salarios (en miles de euros) de $200$ trabajadores se agrupan en los siguientes intervalos:

• $[10, 20)$: $40$ trabajadores

• $[20, 30)$: $80$ trabajadores

• $[30, 40)$: $60$ trabajadores

• $[40, 50)$: $20$ trabajadores

Estima los valores de $Q_1$, $Me$ y $Q_3$ utilizando interpolación lineal dentro de los intervalos para poder esbozar su diagrama de caja.

En un diagrama de caja de los ingresos de una población, se observa que la distancia de $Q_1$ a la mediana es de $500$ €, mientras que de la mediana a $Q_3$ es de $2500$ €. Además, el bigote superior es mucho más largo que el inferior.

¿Qué relación esperas que haya entre la media aritmética y la mediana (cuál será mayor)? Razona tu respuesta basándote en la asimetría mostrada por la caja.

Un conjunto de datos tiene el siguiente resumen de cinco números: Mínimo = $10$, $Q_1 = 20$, $Me = 25$, $Q_3 = 35$, Máximo = $50$.

Se aplica la transformación lineal $y = -2x + 100$ a todos los datos.

Calcula el nuevo resumen de cinco números para la variable $y$ y determina su nuevo rango intercuartílico. Ten especial cuidado con el orden de los cuartiles al multiplicar por un número negativo.

Un diagrama de caja resume el centro y la dispersión mediante cuartiles, pero puede ocultar la forma real de la distribución.

Propón dos conjuntos de datos distintos de $8$ elementos cada uno: el primero debe ser una distribución uniforme (valores equiespaciados) y el segundo una distribución fuertemente bimodal (valores concentrados en los extremos), de tal manera que AMBOS conjuntos tengan exactamente el mismo Mínimo, $Q_1$, Mediana, $Q_3$ y Máximo.