Ejercicios: Inecuaciones de primer grado

Resuelve la inecuación $3x - 5 < 7$ y expresa su conjunto de soluciones en forma de intervalo.

Resuelve la inecuación $-2x + 4 \geq 10$ e indica en qué paso de la resolución cambia el sentido de la desigualdad y por qué ocurre.

La figura muestra en la recta real el conjunto de soluciones de una inecuación.

1. a) Exprésalo como intervalo. b) Exprésalo mediante una desigualdad. c) Escribe una inecuación de primer grado cuya solución sea exactamente ese conjunto.

Un parking cobra $2\ \text{€}$ por la entrada más $1{,}20\ \text{€}$ por cada hora. a) Escribe la inecuación que permite calcular las horas $t$ que se puede estar aparcado sin pasar de $15\ \text{€}$. b) Resuélvela e interpreta el resultado.

Resuelve la inecuación $5(x - 2) \leq 3x + 4$.

Resuelve la inecuación $\frac{x}{3} - \frac{x - 1}{2} > 1$.

Un compañero afirma: «para resolver $-3x > 6$ divido ambos miembros entre $-3$ y obtengo $x > -2$». Valora si su afirmación es verdadera o falsa, explica el error si lo hay y da la solución correcta.

Comprueba si los valores $x = 2$ y $x = 8$ son soluciones de la inecuación $5(x - 1) - 2x < 10$, sin resolverla previamente. Después, resuélvela y confirma tu respuesta.

Resuelve la inecuación $\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 2}{4} \leq \frac{1}{2}$ e indica cuál es el mayor número entero que la verifica.

Resuelve la doble desigualdad $-3 \leq 2x + 1 < 7$ y expresa la solución como un intervalo.

Resuelve el sistema de inecuaciones $\begin{cases} 2x - 3 < 5 \\ x + 4 \geq 1 \end{cases}$ y representa la solución en la recta real.

La figura muestra dos intervalos $A$ y $B$ representados en la recta real.

Escribe, como intervalo, el conjunto de valores de $x$ que pertenecen a la vez a $A$ y a $B$, es decir, la solución del sistema formado por las dos desigualdades correspondientes.

Andrea quiere obtener una media de al menos $6{,}5$ en los tres exámenes de matemáticas del trimestre. En los dos primeros ha sacado $5{,}6$ y $7{,}2$. ¿Qué nota mínima necesita en el tercer examen?

Dos compañías telefónicas ofrecen estas tarifas: la compañía A cobra una cuota mensual de $15\ \text{€}$ más $0{,}03\ \text{€}$ por minuto, y la compañía B no cobra cuota pero sí $0{,}08\ \text{€}$ por minuto. a) Escribe el coste mensual con cada compañía en función de los minutos $m$ consumidos. b) ¿Para qué consumo mensual cuestan lo mismo las dos? c) ¿Para qué valores de $m$ resulta más barata la compañía A?

Un alumno resuelve así la inecuación $\frac{x - 3}{2} - \frac{2x + 1}{6} \geq 1$:

«Multiplico todo por $6$: $3(x - 3) - (2x + 1) \geq 6$; quito paréntesis: $3x - 9 - 2x + 1 \geq 6$; simplifico: $x - 8 \geq 6$; solución: $x \geq 14$.»

Localiza el error cometido, explícalo y encuentra la solución correcta.

Un jardín rectangular tiene $7$ m de ancho. a) Si disponemos de menos de $40$ m de valla para cerrar su perímetro, ¿qué valores puede tomar el largo $l$? b) Si además queremos que el área del jardín supere los $70\ \text{m}^2$, ¿entre qué valores estará el largo?

Un estudiante se enfrenta a la inecuación con valor absoluto $|3x - 2| < -4$. Para resolverla, aplica una regla mecánica separando el problema en dos casos: $3x - 2 < -4$ y $3x - 2 > 4$. Tras resolver ambas inecuaciones de primer grado, llega a la conclusión de que la solución es el conjunto $x \in (-\infty, -2/3) \cup (2, +\infty)$. Explica el profundo error teórico que ha cometido desde el primer paso al ignorar la definición básica de valor absoluto y proporciona la solución correcta razonada.

Halla todos los valores del parámetro $k$ para los que $x = 3$ es solución de la inecuación $kx - 2(x - k) > 4$.

1. a) Resuelve la inecuación $2(x - 1) > 2x + 5$. b) Resuelve la inecuación $3x - 3 \leq 3(x + 5)$. c) A la vista de los apartados anteriores, explica qué dos casos especiales pueden aparecer cuando una inecuación se reduce a una expresión del tipo $0 \cdot x > a$ o $0 \cdot x \leq a$, y de qué depende cada uno.

La figura muestra en la recta real el conjunto solución de una inecuación del tipo $|x - a| \leq b$.

1. a) Determina los valores de $a$ y $b$. b) Resuelve la inecuación $|2x - 3| \leq 5$ transformándola en una doble desigualdad.

Para la mudanza del instituto se comparan dos empresas de alquiler de furgonetas: KmCero cobra $45\ \text{€}$ por día más $0{,}25\ \text{€}$ por kilómetro, y RutaPlana cobra $70\ \text{€}$ por día más $0{,}10\ \text{€}$ por kilómetro. a) Escribe el coste de un día de alquiler en cada empresa en función de los kilómetros recorridos $x$. b) Si se prevé recorrer $120$ km en un día, ¿qué empresa conviene? c) ¿A partir de cuántos kilómetros diarios interesa contratar RutaPlana? d) Un profesor afirma: «con KmCero siempre salimos ganando, porque su precio fijo es menor». Explica, usando tus resultados, por qué no tiene razón.

Una plataforma de música en streaming tiene unos costes fijos de $18.000\ \text{€}$ al mes más $1{,}20\ \text{€}$ de gastos técnicos por suscriptor. Cada suscriptor paga una cuota de $4{,}80\ \text{€}$ mensuales y la publicidad aporta $6.000\ \text{€}$ al mes. a) Plantea la inecuación que determina el número de suscriptores $x$ a partir del cual la plataforma obtiene beneficios. b) Resuélvela e interpreta el resultado.

La solución de la inecuación $ax + b > 0$ es exactamente el intervalo $(-\infty, 2)$, y se sabe que $a + b = 4$. a) Razona por qué el coeficiente $a$ tiene que ser negativo. b) Halla los valores de $a$ y $b$.

Para superar un curso en línea hay que conseguir una media entre $7$ y $8{,}5$ en las tres pruebas finales. Marc ha obtenido $6{,}4$ y $8{,}1$ en las dos primeras. a) Plantea las inecuaciones que debe cumplir su nota $x$ en la tercera prueba. b) ¿Entre qué valores debería estar $x$? c) Teniendo en cuenta que la nota máxima de cada prueba es $10$, interpreta el resultado: ¿puede Marc superar el curso? ¿Con qué notas lo conseguiría?

Sean $a$ y $b$ dos números negativos tales que $a < b < 0$. a) Elige dos valores concretos para $a$ y $b$ y calcula $a^2$, $b^2$ y $a \cdot b$. b) Conjetura una ordenación de menor a mayor de los tres números $a^2$, $b^2$ y $a \cdot b$. c) Demuestra tu conjetura usando las propiedades de las desigualdades.