Ejercicios: Otros tipos de ecuaciones

Resuelve la siguiente ecuación bicuadrada encontrando todas sus soluciones reales:

$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$

Resuelve la siguiente ecuación racional, prestando atención a las posibles soluciones extrañas que anulen los denominadores:

$\frac{x+2}{x-1} = \frac{x}{x+3}$

Encuentra el valor o los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación irracional. Recuerda comprobar la validez de las soluciones obtenidas:

$\sqrt{2x+5} - 3 = x$

Resuelve la siguiente ecuación exponencial expresando ambos miembros como potencias de la misma base:

$3^{2x-1} = 81$

Halla el valor de $x$ aplicando las propiedades de los logaritmos en la siguiente ecuación:

$\log(x+2) + \log(3) = \log(15)$

Determina todas las soluciones reales de la siguiente ecuación polinómica que ya se encuentra factorizada:

$(x^2-9)(2x+5)(x^2+4) = 0$

Resuelve la siguiente ecuación bicuadrada incompleta sacando factor común:

$2x^4 - 32x^2 = 0$

Aísla el radical, eleva al cuadrado ambos miembros y resuelve la ecuación irracional. Comprueba si las soluciones halladas son válidas:

$\sqrt{x^2+5x+1} = x+2$

El área de un rectángulo es de $120\text{ cm}^2$ y la longitud de su diagonal es de $17\text{ cm}$. Si la base mide $x$ y la altura mide $y$, plantea un sistema de ecuaciones no lineales. Reduce el sistema a una ecuación bicuadrada con una sola incógnita y halla las dimensiones del rectángulo.

Un ciclista realiza un trayecto de $60\text{ km}$ a una velocidad constante $v$. Si hubiera ido $5\text{ km/h}$ más rápido, habría tardado $1$ hora menos en completar el mismo recorrido. Sabiendo que el tiempo empleado es $t = \frac{d}{v}$, plantea una ecuación racional y determina la velocidad inicial a la que iba el ciclista.

El número de reproducciones de un vídeo que se está haciendo viral crece según la función $N(t) = 100 \cdot 2^{t/3}$, donde $N$ es el número de reproducciones acumuladas y $t$ es el tiempo transcurrido en horas desde su publicación. ¿Cuántas horas deben transcurrir para que el vídeo alcance exactamente las $6400$ reproducciones?

El nivel de intensidad sonora $\beta$ en decibelios (dB) se calcula mediante la expresión $\beta = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$, donde $I$ es la intensidad sonora del ruido e $I_0 = 10^{-12}\text{ W/m}^2$ es el umbral de audición. Si el ruido del tráfico en una calle muy transitada alcanza los $80\text{ dB}$, halla la intensidad sonora $I$ resolviendo la ecuación logarítmica correspondiente.

El periodo $T$ de oscilación de un péndulo simple, medido en segundos, está dado por la fórmula $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud del hilo en metros y $g = 9,8\text{ m/s}^2$ es la aceleración de la gravedad. Si un reloj de péndulo tiene un periodo exacto de $2\text{ s}$, plantea y resuelve la ecuación irracional para calcular la longitud $L$ del péndulo. (Utiliza la aproximación $\pi \approx 3,14$).

Resuelve la siguiente ecuación exponencial aplicando el cambio de variable $u = 2^x$. Obtén primero los valores de $u$ y deshaz el cambio para hallar los valores de $x$:

$4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$

Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una pieza de cartón cuadrada de $20\text{ cm}$ de lado. Para ello, se recortan cuadrados de lado $x$ en cada una de las cuatro esquinas y se doblan las solapas hacia arriba. El volumen de la caja resultante viene dado por la expresión $V(x) = x(20-2x)^2$. Plantea la ecuación polinómica necesaria y encuentra el valor entero de $x$ para que el volumen de la caja sea de $576\text{ cm}^3$.

Resuelve la siguiente ecuación irracional que involucra dos radicales. Aísla uno de ellos, eleva al cuadrado y repite el proceso si es necesario. No olvides comprobar la validez de tus resultados en la ecuación original:

$\sqrt{x+4} + \sqrt{x-1} = 5$

Resuelve la siguiente ecuación con valor absoluto, analizando los casos necesarios según el signo del argumento y comprobando la validez de las soluciones obtenidas:

$|2x - 5| = x + 1$

En la resolución de la ecuación exponencial $3^{x+1} - 3^{x-1} = 24$, un alumno intenta sacar factor común $3^x$ pero comete un error en la factorización, escribiendo la expresión como $3^x \cdot (3^1 - 3^0) = 24$, argumentando que "al quitar la $x$ del exponente $x-1$, queda $0$". Identifica el error en la aplicación de las propiedades de las potencias con exponentes negativos, corrige el factor común extraído y resuelve la ecuación hasta hallar el valor exacto de $x$.

Dada la ecuación bicuadrada $x^4 - 8x^2 + k = 0$, donde $k$ es un parámetro real:

Plantea el cambio de variable $z = x^2$ y analiza el discriminante de la ecuación de segundo grado resultante. Determina qué condición o valores debe cumplir el parámetro $k$ para que la ecuación original tenga exactamente cuatro soluciones reales distintas.

Encuentra los puntos de intersección entre una circunferencia con centro en el origen y radio $5$, cuya ecuación es $x^2+y^2 = 25$, y la curva de proporcionalidad inversa $x \cdot y = 12$. Plantea el sistema de ecuaciones no lineales, redúcelo a una ecuación bicuadrada y halla las coordenadas $(x,y)$ de todos los puntos de corte.

Dos grifos, A y B, llenan un depósito de agua trabajando juntos en exactamente $6$ horas. Se sabe que, si trabajaran por separado, el grifo A tardaría $5$ horas menos que el grifo B en llenar completamente el mismo depósito. Plantea una ecuación racional que relacione los caudales (fracción de depósito por hora) y halla cuánto tiempo tardaría cada grifo individualmente.

Un inversor deposita un capital de $5000$ euros en un producto financiero a un interés compuesto anual del $r\%$. La fórmula del capital final tras $t$ años es $C_f = C_i \left(1 + \frac{r}{100}\right)^t$. Después de $2$ años, el capital se ha convertido en $5408$ euros. Plantea la ecuación exponencial o polinómica correspondiente y determina la tasa de interés anual $r$.

En un cono circular recto, la longitud de la generatriz $g$, el radio de la base $r$ y la altura $h$ forman un triángulo rectángulo, cumpliendo $g = \sqrt{r^2+h^2}$. Se sabe que el radio de la base mide $3\text{ cm}$ menos que la altura del cono, y que la generatriz mide exactamente $15\text{ cm}$. Plantea la ecuación irracional correspondiente y resuélvela para hallar la medida exacta del radio y la altura.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones logarítmicas aplicando las propiedades de los logaritmos para transformarlo en un sistema algebraico lineal o no lineal:

$\begin{cases} \log(x) + \log(y) = 3 \\ 2\log(x) - \log(y) = 3 \end{cases}$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales. Utiliza un cambio de variable adecuado, por ejemplo $u = 2^x$ y $v = 5^y$, para transformarlo en un sistema lineal, resuélvelo y luego deshaz el cambio para hallar $x$ e $y$:

$\begin{cases} 2^x + 5^y = 9 \\ 2^{x+2} - 5^{y+1} = -9 \end{cases}$

Encuentra todas las raíces del siguiente polinomio de cuarto grado resolviendo la ecuación correspondiente. Utiliza el Teorema del Resto y la regla de Ruffini para encontrar las raíces enteras y luego resuelve la ecuación de segundo grado resultante para hallar el resto de soluciones reales o comprobar si las hay:

$x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12 = 0$