Ejercicios: Números racionales

Observa la siguiente representación gráfica de una fracción. Tu tarea consiste en:

1. Escribir la fracción irreducible que representa la parte coloreada en naranja respecto al total del círculo.

2. Indicar si la fracción $\frac{9}{24}$ es equivalente a la representada en la imagen. Justifica tu respuesta simplificando ambas fracciones.

Tres amigos están compitiendo en una carrera de obstáculos de 100 metros. En un momento determinado, sus posiciones son las siguientes:

• Ana ha recorrido $\frac{2}{5}$ del total.

• Beto ha recorrido $\frac{3}{4}$ del total.

• Carla ha recorrido $\frac{7}{10}$ del total.

• Calcula cuántos metros ha recorrido exactamente cada uno.

• Ordena las fracciones de menor a mayor utilizando el símbolo $<$.

• Ubica aproximadamente la posición de Ana (A), Beto (B) y Carla (C) en la recta numérica mostrada a continuación.

Clasifica los siguientes números decimales según sean exactos, periódicos puros o periódicos mixtos. Después, expresa los que sean exactos en forma de fracción irreducible.

1. a) $3,25$
2. b) $7,1111\dots$
3. c) $0,25$
4. d) $5,0424242\dots$

Pista: Recuerda que para pasar un decimal exacto a fracción, escribes el número sin la coma en el numerador y un 1 seguido de tantos ceros como decimales tenga en el denominador.

En un videojuego de estrategia, el mapa está dividido en diferentes zonas según el terreno.

El mapa total ocupa 1200 píxeles cuadrados.

• El bosque ocupa $\frac{1}{3}$ del mapa.

• El agua ocupa $\frac{1}{4}$ del mapa.

• El resto es desierto.

• ¿Cuántos píxeles cuadrados ocupa el bosque?

• ¿Cuántos píxeles cuadrados ocupa el agua?

• Calcula qué fracción irreducible del mapa representa el desierto.

Realiza las siguientes operaciones con fracciones. Recuerda que para sumar o restar debes obtener primero el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores. Expresa el resultado en forma de fracción irreducible.

1. a) $\frac{2}{3} + \frac{1}{6}$

1. b) $\frac{4}{5} - \frac{1}{2}$

1. c) $\frac{3}{4} + \frac{5}{12} - \frac{1}{3}$

El almacenamiento de tu teléfono móvil se reparte de la siguiente manera:

• Las fotos ocupan $\frac{2}{5}$ del espacio.

• Las aplicaciones ocupan $\frac{1}{3}$ del espacio.

• ¿Qué fracción del total ocupan las fotos y las aplicaciones juntas?

• Si el resto del espacio está libre, ¿qué fracción representa el espacio libre?

• Si la capacidad total del teléfono es de 60 GB, ¿cuántos GB quedan libres?

Calcula los siguientes productos y divisiones de fracciones. Recuerda simplificar el resultado final si es posible.

1. a) $\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9}$

1. b) $\frac{2}{5} : \frac{4}{15}$

1. c) $\frac{5}{6} \cdot (-2)$

Nota: Recuerda la regla de los signos y que un número entero tiene denominador 1.

Marta ha comprado una pizza rectangular grande para cenar. Al abrir la caja, ve que la pizza viene cortada en 24 trozos iguales.

• Marta se come 4 trozos.

• Su hermano Luis se come 6 trozos.

• Sus padres se comen 8 trozos entre los dos.

• Escribe la fracción de pizza que se ha comido cada uno (Marta, Luis y padres). Simplifícalas al máximo.

• ¿Qué fracción de la pizza ha sobrado? Expresa el resultado como fracción irreducible.

Calcula el valor de la siguiente operación combinada, respetando la jerarquía de las operaciones (paréntesis, potencias, multiplicaciones/divisiones, sumas/restas). Debes simplificar el resultado final hasta obtener la fracción irreducible.

$$ \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \right)^2 : \frac{5}{8} - \left( 1 - \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{3} \right) $$

Tu teléfono móvil tiene una capacidad de almacenamiento total desconocida. El sistema operativo ocupa $\frac{1}{6}$ de la memoria total. De lo que queda libre, tus aplicaciones y juegos ocupan $\frac{3}{5}$. Si al final te quedan libres 32 GB para tus fotos y vídeos:

1. a) ¿Qué fracción del total representa la memoria libre para fotos?
2. b) ¿Cuál es la capacidad total de almacenamiento del teléfono en GB?

Ayúdate del siguiente esquema gráfico para visualizar el problema:

Clasifica los siguientes números decimales (exacto, periódico puro o periódico mixto) y halla su fracción generatriz. Una vez obtenidas las fracciones, realiza la siguiente operación y simplifica el resultado:

$$ 1,2\widehat{5} - 0,\widehat{6} $$

En el laboratorio de Física hemos medido la longitud de una mesa y el grosor de una moneda. Los resultados han sido:

• Longitud de la mesa: valor real $120 \text{ cm}$, valor medido $118 \text{ cm}$.

• Grosor de la moneda: valor real $2 \text{ mm}$, valor medido $2,5 \text{ mm}$.

Calcula el error absoluto y el error relativo (en porcentaje) de cada medición. ¿Cuál de las dos mediciones ha sido más precisa? Justifica tu respuesta basándote en el error relativo.

Representa en la recta numérica los números racionales $\frac{7}{4}$ y $-\frac{2}{3}$.

Para ello, utiliza el Teorema de Tales o la división de segmentos para ubicar los puntos de forma exacta, no aproximada.

Utiliza el siguiente diagrama como referencia para tu construcción en el cuaderno:

Tres amigos compran un regalo de cumpleaños que cuesta 60 €.

• Ana aporta $\frac{1}{3}$ del precio total.

• Berto aporta $\frac{2}{5}$ del precio total.

• Carla paga el resto.

1. a) ¿Qué fracción del total paga Carla?
2. b) ¿Cuánto dinero en euros pone cada uno?

Se deja caer una pelota de goma desde una altura de 27 metros. En cada rebote, la pelota sube una altura equivalente a $\frac{2}{3}$ de la altura anterior.

1. a) Escribe la fracción y la altura en metros que alcanza tras el primer rebote.
2. b) Escribe la fracción y la altura en metros que alcanza tras el segundo rebote.
3. c) ¿A qué altura subirá después del tercer rebote?

Disponemos de un bidón de aceite con una capacidad de 120 litros.

Queremos envasar todo el aceite en dos tipos de recipientes:

• Llenamos 40 botellas de $\frac{3}{4}$ de litro cada una.

• El resto del aceite lo envasamos en garrafas de $1,5$ litros.

¿Cuántas garrafas de 1,5 litros necesitaremos para envasar el aceite restante?

Nota: Recuerda que 1,5 litros se puede expresar como la fracción $\frac{3}{2}$.

Calcula el valor exacto de la siguiente expresión combinada. Para ello, debes convertir previamente todos los números decimales a su fracción generatriz irreducible y simplificar cada paso antes de operar. Ten cuidado con la jerarquía de las operaciones y los signos negativos.

$$ \frac{2^{-2} - \left( 1,1\widehat{6} - \frac{7}{6} \right)^{-1} \cdot \sqrt{\frac{16}{81}}}{0,\widehat{3} \cdot \left( 1 - \frac{3}{2} \right)^2 + 2,5} $$

Nota: Recuerda que $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Un grupo de estudiantes de 3º de ESO está organizando la financiación para su viaje de fin de curso. Han diseñado un plan de recaudación por etapas:

1. En la primera etapa (venta de lotería), consiguieron recaudar $\frac{2}{5}$ del coste total del viaje.

2. En la segunda etapa (torneo de e-sports), recaudaron $\frac{3}{4}$ de lo que les faltaba por conseguir tras la primera etapa.

3. En la tercera etapa (mercadillo solidario), consiguieron $\frac{2}{3}$ del nuevo resto que les quedaba.

Si después de estas tres etapas todavía les faltan 150 € para cubrir el coste total:

1. a) ¿Qué fracción del total representa lo recaudado en la tercera etapa?
2. b) ¿Cuál es el coste total del viaje?
3. c) ¿Cuánto dinero recaudaron en el torneo de e-sports?

Apóyate en el siguiente diagrama de barras para visualizar las fracciones de resto:

Dos impresoras 3D están trabajando para imprimir las piezas de un proyecto de tecnología.

• La impresora modelo A (más antigua) tardaría 6 horas en imprimir todas las piezas ella sola.

• La impresora modelo B (de última generación) tardaría solo 4 horas en realizar el mismo trabajo completo en solitario.

Para acelerar el proceso, se ponen ambas a funcionar simultáneamente. Sin embargo, tras 1 hora y media funcionando juntas, la impresora B se avería y se detiene.

1. a) ¿Qué fracción del trabajo total han completado juntas antes de la avería?
2. b) ¿Qué fracción del trabajo queda pendiente?
3. c) ¿Cuánto tiempo extra tardará la impresora A en terminar el trabajo restante ella sola? Expresa el resultado en horas y minutos.

Tenemos una pieza cuadrada de material conductor para un circuito. Se realizan cortes sucesivos siguiendo un patrón geométrico fractal:

1. El cuadrado original se divide en 4 cuadrados iguales y se elimina (se colorea de negro) el cuadrado superior izquierdo.

2. De los 3 cuadrados verdes restantes, cada uno se vuelve a dividir en 4 cuadrados iguales y se elimina el superior izquierdo de cada uno de ellos.

Observa la figura generada tras el segundo paso:

1. a) Escribe la operación combinada de fracciones que calcula qué parte del área total ha sido eliminada (zonas sombreadas) después del segundo paso.
2. b) Si el lado del cuadrado original mide $1 \text{ m}$, ¿cuántos $\text{cm}^2$ de material "blanco" (no eliminado) quedan tras el segundo paso?

Encuentra una fracción irreducible $\frac{a}{b}$ tal que sea el resultado de operar:

$$ 2,3\widehat{1} - 0,\widehat{5} + \frac{1}{11} \cdot 0,5 $$

Si intentas hacer esta operación convirtiendo a decimales y operando, obtendrás un error de aproximación. Demuestra algebraicamente, usando fracciones generatrices, que el resultado es exacto.

A continuación, calcula el error absoluto y el error relativo (en %) que se cometería si aproximáramos el número $2,3\widehat{1}$ simplemente por $2,31$ antes de empezar a operar.

Un biólogo está preparando un cultivo de bacterias y necesita una temperatura ambiente muy específica.

El termostato del laboratorio tiene una escala un poco extraña marcada en fracciones de grado.

La temperatura ideal $T$ debe cumplir la siguiente condición de distancia (valor absoluto):

$$ \left| T - \frac{25}{4} \right| \leq \frac{3}{8} $$

1. a) Representa en la recta numérica el conjunto de todos los valores posibles de temperatura $T$ (intervalo).
2. b) Escribe el intervalo solución usando desigualdades y fracciones.
3. c) ¿Sería válida una temperatura de $6,65^\circ \text{C}$? Justifica tu respuesta operando con fracciones.

Tenemos tres depósitos de zumo con distintas capacidades:

• Depósito A: Lleno hasta $\frac{3}{5}$ de su capacidad.

• Depósito B: Lleno hasta $\frac{5}{6}$ de su capacidad.

• Depósito C: Vacío, con una capacidad de 100 litros.

Sabemos que la capacidad total del depósito A es $\frac{2}{3}$ de la capacidad del depósito B.

Si vertemos el contenido actual de A y de B dentro del depósito C, la mezcla ocupa exactamente $\frac{11}{20}$ de la capacidad de C.

Calcula la capacidad máxima (volumen total) de los depósitos A y B.

Una pelota de goma muy elástica se deja caer desde una altura de 243 cm.

Cada vez que rebota en el suelo, la pelota asciende a una altura que es igual a $\frac{2}{3}$ de la altura desde la que cayó anteriormente.

1. a) Escribe la secuencia de alturas (en forma de potencias y fracciones) que alcanza la pelota en el primer, segundo y tercer rebote.
2. b) ¿A qué altura subirá después del quinto rebote? Expresa el resultado como fracción irreducible y luego pásalo a decimal.
3. c) ¿Qué distancia total habrá recorrido la pelota (sumando bajadas y subidas) justo cuando toque el suelo por cuarta vez?