Ejercicios: Representación en el plano

En la aplicación de mapas de tu móvil, el parque de tu barrio aparece cuadriculado sobre un sistema de ejes cartesianos. Observa la posición de los diferentes elementos y escribe las coordenadas de los puntos donde se encuentran:

1. La fuente ($A$)

2. El banco ($B$)

3. La papelera ($C$)

4. La farola ($D$)

Sin necesidad de representarlos gráficamente, indica en qué cuadrante se encuentran los siguientes puntos que indican la posición de varios jugadores en un servidor de videojuegos:

• Jugador 1: $P_1(5, -2)$

• Jugador 2: $P_2(-3, -8)$

• Jugador 3: $P_3(-1, 4)$

• Jugador 4: $P_4(2, 6)$

Dibuja en tu cuaderno un sistema de ejes cartesianos y representa los siguientes puntos, que forman los vértices de una zona de aterrizaje segura:

• $A(2, 3)$

• $B(-2, 3)$

• $C(-2, -3)$

• $D(2, -3)$

¿Qué figura geométrica obtienes al unir los puntos en orden?

Indica las coordenadas de los siguientes puntos especiales situados sobre los ejes de coordenadas y explica por qué su posición es característica:

(Considera que cada marca en el eje representa 3 unidades).

En una red social, la posición de dos amigos viene dada por los puntos $A(3, 2)$ y $B(3, -4)$.

1. a) Represéntalos en el plano.
2. b) ¿Qué tienen en común sus coordenadas?
3. c) Si trazamos una línea que pase por ambos, ¿sería una recta horizontal o vertical?

Identifica el nombre de los elementos señalados en este sistema de referencia cartesiano:

1. La recta horizontal (Eje de...)

2. La recta vertical (Eje de...)

3. El punto $(0,0)$ donde se cruzan.

4. Las cuatro regiones en las que se divide el plano.

Tres vértices de un rectángulo son $A(-3, 1)$, $B(4, 1)$ y $C(4, -2)$.

1. a) Representa los tres puntos en un plano cartesiano.
2. b) Halla las coordenadas del cuarto vértice $D$ para completar el rectángulo.
3. c) ¿En qué cuadrante se encuentra el nuevo punto $D$?

Imagina que estás diseñando el mapa de un tesoro. El punto de partida es el origen de coordenadas $O(0,0)$. Las instrucciones dicen:

"Camina 4 unidades hacia el Este (derecha), luego 3 unidades hacia el Norte (arriba), después 6 unidades hacia el Oeste (izquierda) y finalmente 2 unidades hacia el Sur (abajo)".

Escribe las coordenadas del punto final donde se encuentra el tesoro y represéntalo gráficamente.

En un videojuego de estrategia, la base principal está situada en el origen de coordenadas $O(0, 0)$. El radar detecta tres objetivos enemigos en las siguientes posiciones: el objetivo $A$ en $(-4, 3)$, el objetivo $B$ en $(2, 5)$ y el objetivo $C$ en $(3, -2)$.

Representa los puntos en el plano cartesiano e indica en qué cuadrante se encuentra cada uno de los objetivos enemigos.

Tres de los vértices de un rectángulo destinado a una zona de patinaje están situados en los puntos $P(-3, -2)$, $Q(4, -2)$ y $R(4, 3)$.

1. a) Representa los puntos en el plano y dibuja el rectángulo.
2. b) Determina las coordenadas del cuarto vértice $S$ para que la figura sea un rectángulo.
3. c) Calcula el perímetro de la zona de patinaje sabiendo que cada unidad del plano equivale a $2$ metros.

Sin necesidad de representar los puntos, indica en qué cuadrante o eje se encuentran los siguientes puntos basándote en el signo de sus coordenadas. Justifica tu respuesta razonando si la abscisa o la ordenada son positivas, negativas o nulas:

• $A(0, -5)$

• $B(-2, -8)$

• $C(4, 0)$

• $D(-1, 7)$

• $E(3, -3)$

Un dron de vigilancia realiza un recorrido fotográfico siguiendo una trayectoria en línea recta. Se sabe que pasa por el punto de control $M(1, 2)$ y por el punto de avituallamiento $N(3, 6)$.

1. a) Representa ambos puntos en el plano cartesiano.
2. b) Si el dron continúa en la misma dirección, indica si pasará por el punto $P(5, 10)$ o por el punto $Q(4, 7)$. Compruébalo gráficamente trazando la recta que une $M$ y $N$.

El logotipo de una nueva marca de ropa es simétrico respecto al eje de ordenadas ($Eje\ Y$). La parte derecha del logo está definida por los puntos $A(0, 5)$, $B(2, 4)$ y $C(3, 0)$.

1. a) Obtén las coordenadas de los puntos simétricos $B'$ y $C'$ respecto al eje $Y$.
2. b) Representa los cinco puntos en el plano y únelos en orden ($C'-B'-A-B-C$) para visualizar la forma del logotipo.

Dada la siguiente tabla de valores que relaciona la entrada ($x$) con la salida ($y$) de una función:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

1. a) Representa los puntos resultantes en un sistema de coordenadas cartesianas.
2. b) ¿Qué figura geométrica parecen formar los puntos si los uniéramos con una línea curva suave?
3. c) Indica las coordenadas del punto donde la función alcanza su valor mínimo.

Calcula el área de un triángulo cuyos vértices son los puntos $A(-2, 1)$, $B(4, 1)$ y $C(1, 6)$.

Para resolverlo:

1. Representa los puntos en el plano.

2. Identifica cuál es la base del triángulo y cuánto mide (unidades del eje $X$).

3. Identifica la altura y cuánto mide (unidades del eje $Y$).

4. Aplica la fórmula del área del triángulo: $Área = \frac{base \cdot altura}{2}$.

Observa la siguiente figura, que muestra el segmento de recta que une los puntos $A(-4, 2)$ y $B(2, -1)$.

1. Indica las coordenadas del punto donde el segmento cruza al eje de abscisas (eje $X$).

2. Indica las coordenadas del punto donde el segmento cruza al eje de ordenadas (eje $Y$). ¿Qué tienen de particular ambos puntos de corte?

3. ¿Cuál de estas expresiones relaciona las coordenadas de los puntos del segmento: $y = 2x$, $y = -\frac{x}{2}$ o $y = x - 2$? Comprueba tu elección sustituyendo las coordenadas de $A$ y de $B$.

Tres vértices de un paralelogramo son los puntos $A(-4, 1)$, $B(2, 1)$ y $C(4, 5)$. Utiliza tus conocimientos sobre la representación en el plano para realizar las siguientes tareas:

1. a) Representa los puntos en el sistema de ejes cartesianos y determina las coordenadas del cuarto vértice $D$ para que los puntos, seguidos en orden alfabético, formen la figura.

1. b) Calcula el área del paralelogramo tomando como unidad el cuadrado de la cuadrícula.

1. c) Si reflejamos el punto $A$ respecto al origen de coordenadas $(0,0)$, ¿en qué cuadrante se encontraría el nuevo punto $A'$ y cuáles serían sus coordenadas?

Un dron de vigilancia realiza un trayecto sobre una zona industrial representada en un plano cartesiano. El dron parte del punto $P(-6, -4)$ y vuela en línea recta hasta el punto $Q(2, 6)$.

1. a) Determina las coordenadas del punto medio del trayecto, donde el dron debe detenerse para tomar una fotografía de alta resolución.

1. b) Si el dron se desvía de su ruta original y se desplaza desde el punto medio calculado en el apartado anterior 5 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia abajo, ¿en qué cuadrante se encontrará?

1. c) Calcula la distancia total que recorrería el dron si fuera directamente desde el origen de coordenadas $O(0,0)$ hasta el punto $Q(2,6)$.

Considera un triángulo cuyos vértices son $A(2, 1)$, $B(6, 1)$ y un tercer vértice $C$ variable.

1. a) Si el vértice $C$ tiene por coordenadas $(4, y)$, calcula el valor de $y$ para que el área del triángulo sea de $10$ unidades cuadradas, sabiendo que $C$ está en el primer cuadrante.

1. b) Si ahora el vértice $C$ se sitúa en el punto $(a, b)$ de tal forma que el triángulo $ABC$ sea un triángulo rectángulo en $A$ y tenga la misma área que en el apartado anterior, ¿cuáles son las coordenadas de $C$?

1. c) Representa gráficamente ambos triángulos en un mismo sistema de ejes.

En el diseño de un logotipo circular, el centro de la circunferencia se encuentra en el punto $C(1, 2)$. Se sabe que el punto $P(4, 6)$ pertenece al borde del logotipo.

1. a) Representa el centro y el punto $P$ en el plano.

1. b) Encuentra otro punto $Q$ que sea simétrico al punto $P$ respecto al centro $C$. ¿Qué representa el segmento $PQ$ en la circunferencia?

1. c) Si el logotipo se traslada 4 unidades a la izquierda y 2 unidades hacia abajo, ¿cuáles serán las nuevas coordenadas del centro $C'$ y del punto $P'$?

Dado el polígono de vértices $A(-2, 2)$, $B(2, 2)$, $C(4, -1)$ y $D(-4, -1)$:

1. a) Clasifica el cuadrilátero obtenido al representar estos puntos y unirlos en orden.

1. b) Calcula su perímetro aproximado. (Ayuda: utiliza el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de los lados oblicuos).

1. c) Si duplicamos la coordenada $y$ de todos los vértices pero mantenemos la coordenada $x$ intacta, ¿cómo cambia el área de la figura resultante respecto a la original?

Buscamos un punto secreto $S(x, y)$ que cumple las siguientes condiciones lógicas:

1. Su abscisa es el número entero que resuelve la ecuación $3(x - 2) = x + 4$.

2. Su ordenada es el valor absoluto de la solución de $\frac{y}{2} - 5 = -8$.

3. El punto pertenece a una función de proporcionalidad directa que pasa por el punto $(1, -2)$.

1. a) Halla las coordenadas del punto $S$ resolviendo las condiciones 1 y 2.

1. b) Comprueba si el punto $S$ hallado cumple la condición 3. Razona tu respuesta representando gráficamente la función de proporcionalidad.

1. c) Indica en qué cuadrante se encuentra el punto $S$.

Un barco de rescate se encuentra en el punto $R(0, 5)$ y recibe un aviso de un náufrago en el punto $N(8, -1)$. Debido a las corrientes, el barco solo puede navegar siguiendo los bordes de los cuadrantes (primero sobre el eje $Y$ y luego sobre el eje $X$, o viceversa) o bien moviéndose en línea recta.

1. a) Representa ambos puntos y dibuja el camino más corto siguiendo los ejes. ¿Qué distancia recorrería en total si cada unidad del plano son 10 millas náuticas?

1. b) Calcula la distancia en línea recta (diagonal) entre el barco y el náufrago. ¿Cuántas millas náuticas se ahorrarían respecto al camino anterior?

1. c) Si un segundo náufrago se encuentra en el punto simétrico a $N$ respecto al eje $Y$, ¿cuáles son sus coordenadas?

Sea la figura geométrica definida por los puntos $O(0,0)$, $A(a, 0)$ y $B(0, a)$.

1. a) Si el área del triángulo $OAB$ es de $18$ unidades cuadradas, determina el valor de la coordenada $a$ (considerando $a > 0$).

1. b) Representa el triángulo en el plano y dibuja su figura simétrica respecto a la bisectriz del primer cuadrante (la recta donde $x = y$). ¿Qué observas sobre las coordenadas de los nuevos puntos?

1. c) Calcula las coordenadas del punto $M$, punto medio del segmento $AB$, y verifica si la distancia de $M$ al origen $O$ es la misma que la distancia de $M$ al punto $A$.