Ejercicios: Ecuaciones de primer grado

En matemáticas, es fundamental distinguir entre una expresión algebraica y una ecuación. Observa la siguiente lista e identifica cuáles son ecuaciones de primer grado. Para las que lo sean, indica cuál es su primer miembro y cuál es su incógnita:

1. a) $3x + 5$
2. b) $2x - 8 = 10$
3. c) $x^2 - 4 = 0$
4. d) $5 + 3 = 8$
5. e) $\frac{y}{2} + 1 = 7$

Comprobar si un número es solución de una ecuación consiste en sustituir la incógnita y ver si la igualdad se cumple. Dado el siguiente conjunto de valores: $\{-2, 0, 3\}$, indica razonadamente cuál de ellos es la solución de la ecuación:

$5x - (x + 4) = 8$

Resuelve las siguientes ecuaciones básicas utilizando la transposición de términos (lo que está sumando pasa restando y viceversa):

1. a) $x + 15 = 42$
2. b) $x - 7 = -12$
3. c) $10 - x = 4$
4. d) $25 = x + 18$

En el desarrollo de videojuegos, a veces se usan ecuaciones para calcular puntuaciones. Un jugador tiene el triple de puntos que su amigo. Si al jugador le restamos $50$ puntos, ahora tiene exactamente $250$ puntos.

Plantea una ecuación donde $x$ sea la puntuación del amigo y resuélvela para hallar cuántos puntos tiene cada uno.

Halla el valor del lado $x$ en el siguiente rectángulo sabiendo que su perímetro total es de $34$ cm.

Resuelve estas ecuaciones de primer grado eliminando primero los paréntesis. Recuerda aplicar la propiedad distributiva con cuidado:

1. a) $3(x - 2) = 12$
2. b) $2(x + 4) + 5 = 17$
3. c) $10 - (x - 3) = 8$

Traducir enunciados del lenguaje natural al lenguaje algebraico es como aprender un nuevo idioma. Traduce y resuelve la siguiente situación:

"Si al doble de un número le sumas su mitad, obtienes 25".

(Pista: llama $x$ al número desconocido).

Una balanza está en equilibrio. En el platillo de la izquierda hay $3$ cajas iguales (de peso $x$) y una pesa de $2$ kg. En el platillo de la derecha hay una pesa de $14$ kg.

Plantea la ecuación que representa este equilibrio y calcula cuánto pesa cada caja.

Resuelve la siguiente ecuación de primer grado asegurándote de simplificar todos los términos y prestar atención a los cambios de signo delante de las fracciones:

En una tienda de tecnología, un ratón inalámbrico, un teclado y unos cascos cuestan en total $110$ €. Sabemos que el teclado cuesta el triple que el ratón, y que los cascos cuestan $10$ € más que el teclado. Plantea una ecuación de primer grado y calcula el precio de cada artículo.

Un fabricante de zumos quiere crear una nueva mezcla "Tropical" combinando zumo de piña que cuesta $1,20$ €/litro con zumo de mango que cuesta $1,80$ €/litro. Si quiere obtener $60$ litros de mezcla a un precio de $1,40$ €/litro, ¿cuántos litros de zumo de piña debe utilizar?

Halla tres números enteros pares consecutivos tales que la suma de los dos primeros sea igual al tercero más $14$ unidades.

Pista: Si el primer número par es $2x$, el siguiente es $2x + 2$.

Dos ciclistas, Lucía y Marcos, participan en una carrera benéfica. Lucía sale de la meta con una velocidad constante de $20$ km/h. Media hora más tarde, Marcos sale desde el mismo punto persiguiéndola a una velocidad de $25$ km/h. ¿Cuánto tiempo tardará Marcos en alcanzar a Lucía desde que él sale? ¿A qué distancia del punto de partida se encontrarán?

Dada la ecuación con un coeficiente desconocido $k$:

Calcula el valor que debe tener $k$ para que la solución de la ecuación sea $x = 6$. Una vez hallado $k$, comprueba que la igualdad se cumple sustituyendo ambos valores en la ecuación original.

Resuelve la siguiente ecuación de primer grado con coeficientes fraccionarios y términos anidados. Presta mucha atención a la gestión de los signos negativos delante de las fracciones:

Un diseñador de videojuegos está configurando el área de colisión cuadrada de un personaje. Si aumenta uno de los lados en $4\text{ cm}$ y reduce el otro en $2\text{ cm}$, el área del rectángulo resultante es $20\text{ cm}^2$ mayor que el área del cuadrado original. ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado original?

Ayuda: Aunque aparezcan términos en $x^2$, observa cómo se simplifican al operar.

Para llenar la piscina municipal de un pueblo se utilizan dos tuberías, A y B. La tubería A es capaz de llenar la piscina por sí sola en $10$ horas. Debido a un fallo en el sistema de drenaje, hay una fuga en el fondo que vaciaría la piscina llena en $30$ horas si las tuberías estuvieran cerradas. Si abrimos la tubería A y la tubería B simultáneamente, la piscina se llena en exactamente $5$ horas (contando con la fuga abierta). ¿Cuánto tiempo tardaría la tubería B en llenar la piscina ella sola si no hubiera fuga?

En un laboratorio de química, un estudiante necesita obtener $12$ litros de una solución ácida al $25\%$. En el estante solo dispone de dos botes: uno con una solución al $10\%$ de ácido y otro con una solución muy concentrada al $50\%$. ¿Cuántos litros debe mezclar de cada bote para obtener la mezcla exacta que necesita su experimento?

Dos drones de vigilancia, Helios y Selene, parten de dos bases situadas a una distancia de $150\text{ km}$ el uno del otro. Ambos vuelan en la misma dirección y sentido (Helios persiguiendo a Selene). Helios vuela a una velocidad constante de $90\text{ km/h}$ y Selene a $60\text{ km/h}$. Si ambos despegan al mismo tiempo, ¿cuánto tiempo tardará Helios en alcanzar a Selene y a qué distancia de su base de origen ocurrirá el encuentro?

En las ecuaciones literales, debemos ser capaces de despejar una variable en función de las demás. Despeja la variable $x$ en la siguiente igualdad, suponiendo que todos los parámetros $a, b, c$ y $d$ son conocidos y diferentes de cero:

Expresa el resultado final como una única fracción.

Una tienda de tecnología lanza una oferta en tablets y accesorios. Álvaro compra una tablet y un teclado por un total de $325\text{ €}$. Sabe que la tablet tiene aplicado un descuento del $20\%$ sobre su precio original, mientras que el teclado, al ser un modelo antiguo, tiene un descuento del $50\%$. Si Álvaro se ha ahorrado en total $105\text{ €}$ respecto a los precios originales, ¿cuál era el precio de venta (sin descuento) de la tablet y del teclado?

Busca un número de dos cifras sabiendo que la cifra de las unidades excede en $3$ unidades a la cifra de las decenas. Si a dicho número le sumamos el número que resulta de invertir el orden de sus cifras, obtenemos como resultado $121$. Plantea una ecuación de primer grado con una sola incógnita para hallar el número original.